Equazioni parametriche delle coniche

I luoghi geometrici si possono indicare, oltre che con l'equazione cartesiana, anche con una equazione parametrica, esprimendo le coordiante x ed y in funzione di un parametro t: 

\left\{\begin{matrix} x &=x(t) \\ y &=y(t) \end{matrix}\right.

Equazione parametrica di una retta

\left\{\begin{matrix} x= &x_{1}+t\left ( x_{2}-x_{1} \right ) \\ y= &y_{1}+t\left ( y_{2}-y_{1} \right ) \end{matrix}\right.

con 

\left ( x_{1},y_{1} \right ),\left ( x_{2},y_{2} \right )

punti della retta stessa. Se indichiamo con 

x_{2}-x_{1}=\lambda ,\, y_{2}-y_{1}=\mu

la retta si può esprimere in forma parametrica anche nel seguente modo 

\left\{\begin{matrix} x= &x_{1}+\lambda t \\ y= &y_{1}+\mu t \end{matrix}\right.

i  numeri 

\left ( \lambda ,\mu \right )

si dicono numeri direttori della retta.

Esempio 1.- Rappresentare in coordinate cartesiane la retta di equazioni parametriche 

\left\{\begin{matrix} x &=2t-3 \\ y &=4-9t \end{matrix}\right.

e determinare il valore del parametro t per il quale la retta interseca l'asse x.
Si ha 

\left\{\begin{matrix} x &=2t-3 \\ y &=4-9t \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+3 &=2t \\ y &=4-9t \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x+3}{2} &=t \\ y &=4-9t \end{matrix}\right.

e sostituendo nella seconda equazione t = (x+3)/2 si ottiene l'equazione cartesiana della retta 

y=4-9\frac{x+3}{2}\Rightarrow y=\frac{8-9x-27}{2}\Rightarrow y=-\frac{9}{2}x-\frac{19}{2}


Per determinare il valore del parametro t per il quale la retta interseca l'asse x (dunque con ordinata zero) basta richiedere nella seconda equazione che sia y = 0, ossia: 

0=4-9t\Rightarrow t=\frac{4}{9}

Equazione parametrica di una circonferenza

\left\{\begin{matrix} x &=x_{0}+rcost \\ y & =y_{0}+rsent \end{matrix}\right.

con raggio r e centro in

\left ( x_{0},y_{0} \right )

Equazione parametrica di una parabola del tipo y =ax^2+bx+c

\left\{\begin{matrix} x= &t \\ y &=at^{2}+bt+c \end{matrix}\right.

parabola con asse di simmetria parallela all'asse y e vertice nel punto 

V=\left ( -\frac{b}{2a},-\frac{\Delta }{4a} \right )

Equazione parametrica di una parabola del tipo x =ay^2+by+c

\left\{\begin{matrix} y= &t \\ x &=at^{2}+bt+c \end{matrix}\right.

parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y e vertice nel punto 

V=\left ( -\frac{\Delta }{4a},-\frac{b }{2a} \right )

Equazione parametrica di una ellisse canonica

\left\{\begin{matrix} x &=a\cdot cost \\ y & =b\cdot sent \end{matrix}\right.

con semiassi a e b e centro di simmetria in O(0,0); se a > b i fuochi si trovano sull'asse x altrimenti sull'asse y. Il parametro t varia in 

[0,2\pi )

Equazione parametrica di una ellisse traslata

\left\{\begin{matrix} x &=x_{0}+a\cdot cost \\ y & =y_{0}+b\cdot sent \end{matrix}\right.

con semiassi a e b centro di simmetria in 

O'=\left ( x_{0} ,y_{0} \right )

Esempio 2.- Scrivere l'equazione cartesiana della curva di equazioni parametriche e rappresentarla nel piano cartesiano Oxy:

\left\{\begin{matrix} x &=\frac{1}{2} +3cost\\ y &=-\frac{3}{4} +4sent \end{matrix}\right.

Equazione parametrica di una iperbole canonica

\left\{\begin{matrix} x &=\frac{a}{cost} \\ y & =b\cdot tant \end{matrix}\right.

con semiassi a e b e centro di simmetria in O(0,0). Il parametro t varia in 

[0,2\pi )-\left \{ \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right \}

Equazione parametrica di una iperbole traslata

\left\{\begin{matrix} x &=x_{0}+\frac{a}{cos\, t} \\ y &=y_{0}+b\cdot tan\, t \end{matrix}\right.

con semiassi a e b e centro di simmetria in  

O'=\left ( x_{0} ,y_{0} \right )

Esempio 3.- Scrivere l'equazione cartesiana dell'iperbole di equazioni parametriche 

\left\{\begin{matrix} x= &1+ \frac{2}{cost} \\ y= &2+3tant \end{matrix}\right.


e rappresentarla nel piano Oxy.

Si ha 

\left\{\begin{matrix} x &= 1+2\cdot \frac{1}{cost}\\ y &= 2+3\cdot tan\, t \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-1 =& 2\cdot \frac{1}{cost}\\ y-2 =&3tant \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x-1}{2}= &\frac{1}{cost} \\ \frac{y-2}{3}=& tant \end{matrix}\right.

da cui elevando al quadrato ambo i membri si ottiene

\left\{\begin{matrix} \left ( \frac{x-1}{2} \right )^{2} &=\frac{1}{cos^{2}t} \\ \left ( \frac{y-2}{3} \right )^{2} &=tan^{2}t \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{\left ( x-1 \right )^{2}}{4} &=\frac{1}{cos^{2}t} \\ \frac{\left ( y-2 \right )^{2}}{9} &=tan^{2}t \end{matrix}\right.

e sottraendo membro a membro dalla prima equazione la seconda si ha:

\frac{\left ( x-1 \right )^{2}}{4}-\frac{\left ( y-2 \right )^{2}}{9}=\frac{1}{cos^{2}t}-tan^{2}t\Rightarrow \frac{\left ( x-1 \right )^{2}}{4}-\frac{\left ( y-2 \right )^{2}}{9}=\frac{1-sen^{2}t}{cos^{2}t}\Rightarrow \frac{\left ( x-1 \right )^{2}}{4}-\frac{\left ( y-2 \right )^{2}}{9}=\frac{cos^{2}t}{cos^{2}t}\, \, \Rightarrow\, \, \frac{\left ( x-1 \right )^{2}}{4}-\frac{\left ( y-2 \right )^{2}}{9}=1

L'equazione 

\frac{\left ( x-1 \right )^{2}}{4}-\frac{\left ( y-2 \right )^{2}}{9}=1


rappresenta un'iperbole traslata di semiassi di lunghezza 2 e 3 e centro di simmetria nel punto O'(1,2) con i fuochi su di un asse parallelo all'asse y, precisamente sulla retta x = 1.

Osservazione: Le equazioni parametriche presentate sopra della circonferenza, ellisse e iperbole sono di tipo trascendente, però si possono avere equazioni parametriche razionali esprimendo il seno e il coseno in funzione di un parametro mediante le formule parametriche: 

\left\{\begin{matrix} cos\, \alpha &=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\\ sen\, \alpha &=\frac{2t}{1+t^{2}} \end{matrix}\right.

Esempio 4.- Scrivere in forma cartesiana l'equazione della seguente curva 

\left\{\begin{matrix} x &=\frac{6t}{1+t^{2}} \\ y &=\frac{8-8t^{2}}{1+t^{2}} \end{matrix}\right.

Si ha

\left\{\begin{matrix} x &=\frac{6t}{1+t^{2}} \\ y &=\frac{8-8t^{2}}{1+t^{2}} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x &=3\frac{2t}{1+t^{2}} \\ y &=8\frac{1-1t^{2}}{1+t^{2}} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x &=6\cdot sen\alpha \\ y &=8\cdot cos\alpha \end{matrix}\right.

avendo utilizzato le formule parametriche del seno e del coseno. Di conseguenza si vede che la curva è una ellisse canonica di equazione cartesiana:

\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{64}=1

con i fuochi sull'asse y.

Esempio 5.- Scrivere in forma cartesiana l'equazione della seguente curva

\left\{\begin{matrix} x &=\frac{3t^{2}+3+4t}{1+t^{2}} \\ y &=\frac{6+5t^{2}}{1+t^{2}} \end{matrix}\right.

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