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Equazioni parametriche di secondo grado

Un’equazione di secondo grado in forma normale \[ax^{2}+bx+c=0\] si dice parametrica se almeno uno dei coefficienti a, b, c dipende da uno o più  lettere variabili, dette parametri.

Sono, ad esempio, equazioni parametriche le seguenti:

$\displaystyle \left ( m-1 \right )x^{2}-5(m+2)x-3=0$,    $\displaystyle \left ( k-h \right )x^{2}-5kx-k+3h=0$

Nella prima i coefficienti a e b dipendono dal parametro m:

a = m – 1, b = 5(m+2), mentre c = 3 non dipende da m;

nella seconda tutti e tre i coefficienti a, b, c dipendono da parametri:

a = h – k,   b= 5k,   c = 3h.

Nel seguito considereremo, salvo avviso contrario, solo equazioni contenenti un sol parametro variabile nell’insieme R dei numeri reali, e pertanto lo chiameremo parametro reale.

E’ evidente che un’equazione parametrica rappresenta, al variare del parametro, una famiglia di equazioni la cui forma e le relative soluzioni dipendono dal valore assunto dal parametro.

Ad esempio, l’equazione parametrica:

\[\left ( k-1 \right )x^{2}-5kx+k-3=0\]

per   k = 1          diventa         5x – 2 = 0             con soluzione    x = 2/5

per   k = 0         diventa         -x2 – 3 = 0       e non ammette soluzioni reali;

per   k = 2         diventa         x2 + 10x – 1= 0  con soluzioni $\displaystyle x=-5\pm \sqrt{26}$

In relazione ad un’equazione parametrica si può porre il seguente problema:

”Data un’equazione parametrica, per quali valori del parametro l’equazione ammette soluzioni sottostanti a date condizioni”

Per risolvere tale problema, bisogna sviluppare le condizioni assegnate ed ottenere un’equazione ( disequazione), o un sistema di equazioni e disequazioni, risolvente la cui incognita è proprio il parametro. Risolta tale equazione (disequazione o sistema) si ottiene il valore richiesto del parametro.
Generalmente, per ottenere l’equazione (disequazione) risolvente si utilizzano le relazioni tra i coefficienti a, b, c  di un’equazione di secondo grado e le sue soluzioni \[x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a},\, \, x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}\] oltreché tutte le altre relazioni matematiche di cui ci fosse bisogno.
Qui è nel seguito supporremo, salvo avviso contrario, che le soluzioni siano reali o complesse, anche se in alcuni esercizi si richiede espressamente che siano solo reali.

Esempio 1.- Data l’equazione parametrica

\[1)\, \, \, \, \, \, \, \left ( k-1 \right )x^{2}-\left ( k-2 \right )x+k=0\]

determinare per quale valore del parametro reale k sussistono tra le sue radici le seguenti relazioni:

\[\mathbf{1)}\, \, x_{1}=x_{2}\]

\[\mathbf{2)}\, \, x_{1}=-x_{2}\]

\[\mathbf{3)}\, \, x=1\]

\[\mathbf{4)}\, \, x_{1}\cdot x_{2}=1\]

\[\mathbf{5)}\, \, \frac{1}{x_{1}}\cdot \frac{1}{x_{2}}=3\]

Risoluzione

1) Osserviamo che i coefficienti a, b, c dipendono dal parametro k secondo le relazioni:

a = k -1, b = – (k – 2) , c = k ,

e che la condizione x1  = x2 equivale a richiedere che le radici siano reali e coincidenti. Quindi, tenendo conto che un’equazione di secondo grado ammette radici reali e coincidenti quando il discriminante dell’equazione (1) è nullo, $\displaystyle \Delta =0$, si evince che bisogna calcolare il discriminante e imporlo uguale a zero. Si ha: \[\Delta =b^{2}-4ac\] ossia  

$\displaystyle \left ( k-2 \right )^{2}-4k(k-1)=0$

da cui, eseguito la potenza e svolto il prodotto indicato si ha:

$\displaystyle -3k^{2}+4=0\Leftrightarrow k=\pm 2\frac{\sqrt{3}}{3}$

Quindi possiamo concludere che l’equazione (1) ammette soluzioni uguali se e solo se al parametro k si attribuiscono i valori \[k=\pm 2\frac{\sqrt{3}}{3}\].

2) L’equazione (1) ammette radici opposte ( x1  = – x) se e solo se il coefficiente  del termine di primo grado è nullo ( b = 0 ).
Pertanto si ha:

– ( k – 2) = 0 ossia k = 2

In conclusione, l’equazione (1) ammette soluzioni opposte se attribuiamo a k il valore 2.

3) La condizione x = 1 significa che l’equazione (1) ammette il numero 1 come soluzione: Pertanto è lecito sostituire x = 1 nell’equazione parametrica (1).

Si ha:

$\displaystyle \left ( k-1 \right )(1)^{2}-(k-1)\left ( 1 \right )+k=0$

ossia

k – 1 – k + 2 + k = 0      ossia      k + 1 = 0  ossia   k  = – 1.

Possiamo concludere che per k  = -1 l’equazione (1) ammette per soluzione x = 1.

4) L’equazione (1) ammette radici reciproche, $\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}=1$, se e solo se risulta il coefficiente  è uguale al coefficiente, ossia:

\[\frac{c}{a}=1\Rightarrow \frac{k}{k-1}=1\Rightarrow k=k-1\Rightarrow 0=-1\]

Dall’essere falsa l’uguaglianza -1 = 0 si deduce che il problema assegnato è impossibile, ossia non esiste alcun valore del parametro k che faccia avere all’equazione (1) soluzioni reciproche.

5) La condizione da imporre sui coefficienti dell’equazione (1) è la seguente a/c = 3, da cui si ottiene:

\[\frac{k-1}{k}=3\Rightarrow k-1=3k\Rightarrow k=-\frac{1}{2}\]

Quindi per k = – 1/2 l’equazione (1) ammette soluzioni sottostanti alla condizione (5).

Esempio 2.- Data l’equazione parametrica $\displaystyle x^{2}-3kx+2k^{2}+1=0$ determinare il valore del parametro k per il quale si abbia $\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=560$

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Esempio 3.- Data l’equazione parametrica $\displaystyle kx^{2}-\left ( k-1 \right )x+3=0$  determinare il valore del parametro reale k per il quale l’equazione ammetta radici reali e distinte.

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Esempio 4.- Data l’equazione parametrica$\displaystyle 3x^{2}+\left ( k+5 \right )x+7-k=0$ determinare il valore del parametro reale k per il quale si abbia:

  1. radici reali e distinte
  2. la somma delle radici dell’equazione sia 8;
  3. le radici siano antireciproche;
  4. la somma dei quadrati delle radici sia 10

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Esempio 5.- Data l’equazione parametrica $\displaystyle \left ( k-1 \right )x^{2}+\left ( k-2 \right )x+k-3=0$  determinare il valore del parametro reale k per il quale l’equazione ammetta come soluzione x = -2.

Esempio 6.- Data l’equazione parametrica $\displaystyle \left ( k-1 \right )x^{2}+\left ( k-1 \right )x-2k+2=0$ nel parametro reale k determinare il valore del parametro per il quale si abbia:

  1. x = 0
  2. x = -2
  3. la somma delle soluzioni sia uguale al prodotto delle soluzioni aumentato di 3.

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Esempio 7.- Data l’equazione parametrica $\displaystyle \left ( 4-k \right )x^{2}+2\left ( k-1 \right )x+k=0$ nel parametro reale k determinare il valore del parametro per il quale la somma delle soluzioni sia 8.

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Esempio 8.- Data l’equazione parametrica $\displaystyle x^{2}-\left ( k+1 \right )x+2k=0$ nel parametro reale k determinare il valore del parametro per il quale la somma delle soluzioni sia uguale al doppio prodotto delle soluzioni diminuito di 4.

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Esempio 9.- Data l’equazione parametrica $\displaystyle \left ( 4-k \right )x^{2}+2\left ( k-1 \right )x+k=0$ nel parametro reale k determinare il valore del parametro per il quale il prodotto delle soluzioni sia 1/5.

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Esempio 10.- Data l’equazione parametrica $\displaystyle \left ( k-1 \right )x^{2}-5x-1+h=0$ nei parametri reali h e k. Determinare i due parametri per i quali l’equazione ammetta le soluzioni  x = 0, x = 1.

Risposta: k = 6, h = 1.