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Determinare il dominio di una funzione di due variabili esempio 8

Esempio 8.- Determinare il dominio della seguente funzione di due variabili:\[f(x,y)=log\left ( -x^{2}+y \right )+\sqrt{1-y-x}\]

Risoluzione

Bisogna richiedere che l’argomento del logaritmo sia positivo e che il radicando della radice quadrata sia positivo o nullo: \[\left\{\begin{matrix} -x^{2}+y & >0\\ 1-y-x & \geq 0 \end{matrix}\right.\]ossia:\[\left\{\begin{matrix} y & >x^{2}\\ -y & \geq x-1 \end{matrix}\right.\]e cioè: \[\left\{\begin{matrix} y & >x^{2}\\ y & \leq -x+1 \end{matrix}\right.\] Pertanto il dominio della funzione è l’insieme D: \[D=\left \{ \left ( x,y \right )\in R^{2} :y> x^{2}\, \, e\, \, y\leq -x+1\right \}.\]rappresentato nella figura ed evidenziato in giallo.

dominio_duevar_8_1

Notiamo che i punti della retta y = – x + 1 appartengono al dominio della funzione, tranne quelli che intersecano la parabola \[y=x^{2}\]
I punti A, O(0,0), B e quelli della parabola non appartengono al dominio della funzione, mentre quelli della retta appartengono al dominio della funzione.