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Esercizi di geometria euclidea

Esempio 1.- Dati due triangoli ABC e A’B’C’ tali che CB = C’B’, $\displaystyle A\widehat{C}B= A’\widehat{C’}B’$ e $\displaystyle C\widehat{B}A= C’\widehat{B’}A’$. Detti D e D’ i punti medi dei lati AB e A’B’ ed E e E’ i punti medi dei lati AC e A’C’ dimostrare che ED è congruente a E’D’.

Dimostrazione

I triangoli ABC e A’B’C’ sono congruenti per il secondo criterio di congruenza e dunque hanno anche gli altri lati e l’altro angolo congruenti ordinatamente.
I triangoli AED e A’E’D’ sono dunque congruenti per il primo criterio di congruenza …
Ne consegue che ED è congruente ad E’D’

Esempio 2.- Dato il triangolo isoscele ABC sulla base BC, si prolunghi AB e AC rispettivamente di due segmenti AD e AE congurenti. Dimostrare che i triangoli BEC e BDC sono congruenti.

Dimostrazione

I triangoli BCE ed BDC hanno in comune il triangolo isoscele ABC… e i triangoli BAE e CAD sono congruenti per il primo criterio di congruenza. Quindi…

Esempio 3.- Dato l’angolo di vertice O e lati le semirette x e y. Si prenda sulla semiretta x un punto A e sulla semiretta y un punto B tali che OA < OB. Sulla semiretta r, bisettrice dell’angolo xOy, si prenda un punto P e un punto Q tale che OP sia congruente ad OA e OQ congruente ad OB e si dimostri che BP è congruente a AQ.

Dimostrazione

Esempio 4.- Dato un triangolo isoscele ABC sulla base AB, si considerino i punti medi M ed N rispettivamente dei lati CB e AC. Si dimostri che le mediane CB e AC sono congruenti.

Dimostrazione

Consideriamo i triangoli ABN e ABM, essi sono congruenti per il I Criterio di congruenza, infatti il lato AB è in comune, i lati AN e BM sono congruenti perché N ed M sono punti medi di lati congruenti, gli angoli NAB e MBA sono congruenti perché angoli alla base di un triangolo isoscele. Ne consegue che AM è congruente a BN

Esempio 5.- Dato un triangolo ABC con AB  > AC. Prendere un punto D su AB in modo che AD sia congruente a AC. Tracciare la bisettrice dell’angolo A e sia H il punto d’intersezione con il lato BC. Dimostrare che il triangolo DCH è isoscele.
Detto poi F il punto d’intersezione di CA e DH dimostrare che i triangoli CHF e HDB sono congruenti.