Risolvere i seguenti esercizi sui numeri complessi assegnati alla facoltà di ingegneria o matematica

Risolvere i seguenti esercizi sui numeri complessi, z appartiene a C, assegnati alla facoltà di ingegneria o matematica.

N.1- Risolvere la seguente equazione \[(z+i)^{4}=3\]
Conviene estrarre prima di tutto le radice quarte di 3\[w=\sqrt[4]{3}\]
e poi uguagliare a z+i…

N.2- Risolvere la seguente equazione\[z+\left | z \right |=2+i\]

N.2.1.- Risolvere nel campo complesso l’equazione $\displaystyle iz^{2}-2z+3i=0$

Si tratta di un’equazione di secondo grado a coefficienti complessi. Si può risolvere applicando la formula risolutiva dell’equazione di secondo grado $\displaystyle z=\frac{1\pm \sqrt{1-3i^{2}}}{i}=\frac{1\pm \sqrt{4}}{i}=…$ o come mostrato nel seguente video del mio canale Youtube

N.3- Risolvere la seguente equazione\[z^{2}+2\left | z \right |=1+i\sqrt{56}\]

L’equazione ammette due soluzioni z = – 1,72 – 2,17i, z = 1,72 + 2,17i.

N.4- Risolvere la seguente equazione \[z^{2}+8-4i=\left | z \right |^{2}\]
Con la sostituzione  z = x + iy si ha l’equazione nelle incognite x e y \[\left ( x+iy \right )^{2}-\left ( x^{2}+y^{2} \right )=-8+4i\]
Quindi sviluppando i calcoli e uguagliando la parte reale a -8 e la parte reale dell’immaginario a 4 si ha il sistema: \[\left\{\begin{matrix} -2y^{2} &=-8 \\ 2xy & =4 \end{matrix}\right.\]
da cui si ricava che \[y=\pm 2, x=\pm 1\]
In definitiva le soluzioni dell’equazione sono:\[z_{1}=1+2i,z_{2}=-1-2i\]

N.5- Risolvere la seguente equazione \[z^{2}+\overline{z}=1+z\]
L’equazione è equivalente alla seguente \[\left ( x+iy \right )^{2}+\left ( x-iy \right )=1+x+iy\] e sviluppando i calcoli e uguagliando la parte reale a 1 e la parte reale dell’immaginario a 0 si ha il sistema \[\left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2} & =1\\ 2y\left ( x-1 \right ) & =0 \end{matrix}\right.\] da cui \[x=\pm 1,y=0\]

N.6- Risolvere la seguente equazione \[z+3-\left | z \right |^{2}=i\]

N.7- Risolvere la seguente equazione \[z^{3}=\left | z \right |^{2}+4\]…
Le soluzioni sono: \[z=2,\, z=-1-i\sqrt{3},\, z=-1+i\sqrt{3}\]

N.8- Risolvere la seguente equazione\[z+\overline{z}\, ^{4}=0\]

N.9.- Calcolare la potenza \[\left ( \sqrt{3}+i \right )^{101}\]

N.10.- Estrarre le radici quarte di -1

N.11.- Calcolare e rappresentare geometricamente nel piano complesso le radici di \[z=\sqrt[5]{\left ( -\sqrt{2}+i\sqrt{2} \right )^{4}}\]

N.12.- Risolvere nel campo complesso l’equazione \[x^{3}-3x^{2}+12x-10=0\] Il polinomio a primo membro si può scomporre con la Regola di Ruffini tenendo conto che lo zero è x = 1 e si ha \[\left ( x-1 \right )\left ( x^{2}-2x+10 \right )=0\] da cui x = 1 e \[x=-1\pm 3i\]

N.13.- Risolvere nel campo complesso l’equazione \[z^{2}-z\left ( \sqrt{3}+i \right )=0\]
Le soluzioni sono: \[z=0, z =\sqrt{3}+i\]

Risolvere l’equazione: \[z^{4}-z\left ( \sqrt{3}+i \right )=0\] . Questa equazione ammette quattro soluzioni: z = 0, …

N.14.- Risolvere nel campo complesso l’equazione \[\left ( z^{2}+4i \right )\left ( z^{3}+i \right )=0\]

N.15.- Risolvere nel campo complesso l’equazione \[z^{4}-6z^{3}+42z^{2}-120z+208=0\] sapendo che il polinomio al primo membro è divisibile per \[z^{2}-4z+8=0\]
Con la divisione dei polinomi si ottiene che l’equazione assegnata si può riscrivere così \[(z^{2}-4z+8)\left ( z^{2}-2z+26 \right )=0\] e per la legge di annullamento del prodotto si hanno le seguenti due equazioni di secondo grado in z complesso\[z^{2}-4z+8=0,\, \, z^{2}-2z+26 =0\]…
Le soluzioni sono: \[z=1-5i,\,\, z=1+5i, \, z=2-2i,\, \, z=2+2i\]

N.16.- Risolvere nel campo complesso l’equazione \[e^{ix}-1=0,\, \, x\in R\]

N.17.- Risolvere nel campo complesso le seguenti equazioni: \[z^{3}+\left | z \right |^{2}=1+i,\, \, z^{2}+\left | z \right |^{2}=4z\]

\[3z+z^{2}=-\left | z \right |^{2},\, \, z^{2}+3\overline{z}=-1+i\]

\[z^{2}=i\left | z-1 \right |,\, \, z+3-\left | z \right |^{2}=i\]

\[10\overline{z}-2\left | z \right |^{2}+z\left | z \right |^{2}=0,\, \, z\left ( z-i \right )=\left | z \right |+10\]

\[2\left ( z-\left | z \right |^{2} \right )=z^{3},\, \, z^{3}+2i=-\left | z \right |^{2}\]

\[-z+\left | z \right |^{2}(1+i)=z^{2},\, \, \sqrt{2}\left | z \right |-z=\overline{z}\]

\[z+\overline{z}=2,\, \, z\left ( \left | z \right |^{2} -3\right )=2\overline{z}+4i\]

\[\left | z \right |^{2}\left ( z+i \right )=27\]

\[\left | z \right |^{2}\left ( z+i \right )=2z\]

Risolviamo $z+\overline{z}=2$
Sostituendo a z = x+iy e a $\overline{z}=x-iy$ si ottiene l’equazione \[x+iy+x-iy=2\Rightarrow 2x=2\Rightarrow x=1\] Quindi le soluzioni dell’equazione assegnata sono tutti i numeri complessi aventi parte reale uguale ad 1 e per parte reale dell’immaginario qualunque numero reale, ovvero i numeri \[z=1+iy,\, \, y\in R\].

Risolviamo \[\left | z \right |^{2}\left ( z+i \right )=2z\] …
Le soluzioni sono: z = 0, z = -2i.

Risolviamo $\displaystyle \left | z \right |^{2}\left ( z+i \right )=27$

Con la sostituzione z = x+iy si ricava il sistema nel campo reale:

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} x^{3}+xy^{2} &=27 \\ \left ( y+1 \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right ) & =0 \end{matrix}\right.$

e dunque y = -1. Sostituendo nella prima equazione si ottiene l’equazione in x: \[x^{3}+x=27\] che ammette sicuramente una soluzione reale.
Quindi la soluzione dell’equazione nel campo complesso assegnata è: \[z=x_{0}-i\]

con $x_{0}$ soluzione dell’equazione $\displaystyle x^{3}+x=27$ compreso tra 2 e 3.

Risolviamo \[z^{3}+\left | z \right |^{2}=1+i\] …
Le soluzioni sono: \[z=-i,\, z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,\, z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\]

Risolviamo \[z^{2}+\left | z \right |^{2}=4z\]…
Le soluzioni sono; z = 0, z = 2.

Risolviamo \[z\left ( z-i \right )=\left | z \right |+10\] …
Le soluzioni sono: \[z=-\frac{\sqrt{41+2\sqrt{41}}}{2}+\frac{i}{2},\, \, \, z=\frac{\sqrt{41+2\sqrt{41}}}{2}+\frac{i}{2}\]

Risolviamo \[z^{2}=i\left | z-1 \right |\]…
Le soluzioni sono due: \[z\approx -1,08-1,08i, z\approx 0,6+0,6i\]

 

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