Risolvere i seguenti esercizi sui numeri complessi assegnati alla facoltà di ingegneria o matematica

Risolvere i seguenti esercizi sui numeri complessi, z appartiene a C, assegnati alla facoltà di ingegneria o matematica

N.1- Risolvere la seguente equazione \[(z+i)^{4}=3\]
Conviene estrarre prima di tutto le radice quarte di 3\[w=\sqrt[4]{3}\]
e poi uguagliare a z+i…

N.2- Risolvere la seguente equazione\[z+\left | z \right |=2+i\]

N.3- Risolvere la seguente equazione\[z^{2}+2\left | z \right |=1+i\sqrt{56}\]

N.4- Risolvere la seguente equazione \[z^{2}+8-4i=\left | z \right |^{2}\]
Con la sostituzione  z = x + iy si ha l’equazione nelle incognite x e y \[\left ( x+iy \right )^{2}-\left ( x^{2}+y^{2} \right )=-8+4i\]
Quindi sviluppando i calcoli e uguagliando la parte reale a -8 e la parte reale dell’immaginario a 4 si ha il sistema: \[\left\{\begin{matrix} -2y^{2} &=-8 \\ 2xy & =4 \end{matrix}\right.\]
da cui si ricava che \[y=\pm 2, x=\pm 1\]

In definitiva le soluzioni dell’equazione sono:\[z_{1}=1+2i,z_{2}=-1-2i\]

N.5- Risolvere la seguente equazione \[z^{2}+\overline{z}=1+z\]
L’equazione è equivalente alla seguente \[\left ( x+iy \right )^{2}+\left ( x-iy \right )=1+x+iy\] e sviluppando i calcoli e uguagliando la parte reale a 1 e la parte reale dell’immaginario a 0 si ha il sistema \[\left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2} & =1\\ 2y\left ( x-1 \right ) & =0 \end{matrix}\right.\] da cui \[x=\pm 1,y=0\]

N.6- Risolvere la seguente equazione \[z+3-\left | z \right |^{2}=i\]

N.7- Risolvere la seguente equazione \[z^{3}=\left | z \right |^{2}+4\]

N.8- Risolvere la seguente equazione\[z+\overline{z}\, ^{4}=0\]

N.9.- Calcolare la potenza \[\left ( \sqrt{3}+i \right )^{101}\]

N.10.- Estrarre le radici quarte di -1

N.11.- Calcolare e rappresentare geometricamente nel piano complesso le radici di \[z=\sqrt[5]{\left ( -\sqrt{2}+i\sqrt{2} \right )^{4}}\]

N.12.- Risolvere nel campo complesso l’equazione \[x^{3}-3x^{2}+12x-10=0\] Il polinomio a primo membro si può scomporre con la Regola di Ruffini tenendo conto che lo zero è x = 1 e si ha \[\left ( x-1 \right )\left ( x^{2}-2x+10 \right )=0\] da cui x = 1 e \[x=-1\pm 3i\]

N.13.- Risolvere nel campo complesso l’equazione \[z^{4}-z\left ( \sqrt{3}+i \right )=0\]

N.14.- Risolvere nel campo complesso l’equazione \[\left ( z^{2}+4i \right )\left ( z^{3}+i \right )=0\]

N.15.- Risolvere nel campo complesso l’equazione \[z^{4}-6z^{3}+42z^{2}-120z+208=0\] sapendo che il polinomio al primo è divisibile per \[z^{2}-4z+8=0\]
Con la divisione dei polinomi si ottiene che l’equazione assegnata si può riscrivere così \[(z^{2}-4z+8)\left ( z^{2}-2z+26 \right )=0\] e per la legge di annullamento del prodotto si hanno le seguenti due equazioni di secondo grado in z complesso\[z^{2}-4z+8=0,\, \, z^{2}-2z+26 =0\]

N.16.- Risolvere nel campo complesso l’equazione \[e^{ix}-1=0,\, \, x\in R\]

 

 

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