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Esercizi svolti di calcolo combinatorio

Principio fondamentale del calcolo combinatorio. Se una scelta può essere fatta in r modi diversi, per ciascuno dei quali una seconda scelta può essere effettuata in s modi diversi, e, per ciascuno dei modi in cui si sono compiute le prime due scelte una terza scelta può essere effettuata in t modi diversi ecc., allora la successione di tutte le scelte può essere compiuta in r·s·t… modi diversi.

Esempio 0.- In un negozio si possono comprare palline di tre colori: Rosso, Bianco, Giallo. Le palline sono contenute in tre sacchetti distinti: le Rosse sono 19 e numerate da 1 a 19, le Bianche sono 4 e numerate da 31 a 34, le gialle sono 7 e numerate da 41 a 47. Estraendo successivamente una pallina da ogni sacchetto quante sequenze di tre palline si possono ottenere?

Risoluzione

Visto che le palline Rosse sono 19, le Bianche 4 e le Gialle 7, in base al Principio fondamentale del calcolo combinaorio, bisogna moltiplicare \[19\times 4\times 7\]. Il risultato è 532.

Esempio 1.1.- Disposizioni semplici.-  $\displaystyle D_{n,k}=n\cdot \left ( n-1 \right )\cdot (n-2)\cdot …\cdot \left ( n-k+1 \right )$, $\displaystyle n\geq k$ . Sette persone possono sedersi intorno ad uno stesso tavolo di quattro posti. In quanti modi diversi possono sedersi di volta in volta quattro di esse?

Esempio 1.2.- Quanti numeri di tre cifre si possono formare con le cifre 1, 5, 7, 9?

Esempio 2.1.- Disposizioni semplici con ripetizioni.- $\displaystyle D^{‘}_{n,k}=n^{k}$ . Nel lancio di tre dadi, in quanti modi diversi possono presentarsi le tre facce superiori?

Esempio 2.2.- Da due mazzi di 52 carte francesi si estraggono contemporaneamente due carte (una da ogni mazzo di carte). Quante possibilità diverse si possono presentare?

Esempio 2.3.- Determinare il numero delle colonne da giocare al Totocalcio per avere la certezza di fare “13”.

Esempio 3.1.- Permutazioni semplici.-  $\displaystyle P_{n}=n!$ . In quanti modi diversi si possono permutare le singole lettere della parola “TRENO”?

Risoluzione

Osservato che le lettere della parola “TRENO” sono 5 e tutte distinte si ha: \[P_{n=5}=5!=120\]

Esempio 3.2.-  In quanti modi diversi si possono disporre 6 persone intorno ad un tavolo di sei posti?

Esempio 3.3.-  Determinare il numero delle permutazioni che si possono formare con la parola “ROMA”  e determinarli tutti.

Esempio 4.1.- Permutazioni semplici con ripetizioni.- Quante permutazioni con ripetizioni si possono formare con la parola “MATEMATICA”?

Esempio 4.2.- In quanti modi si possono permutare 10 palline di cui due nere, cinque bianche e tre rosse?

Esempio 5.1.- Combinazioni semplici.- $\displaystyle C_{n,k}=\frac{n!}{k!\left ( n-k \right )!}$, $\displaystyle n\geq k$ . Quante sono le cinquine che si possono ottenere con 90 numeri ?

Risoluzione

$\displaystyle C_{90,5}=\frac{90!}{5!(90-5)!}=\frac{90!}{5!\cdot 85!}=\frac{90\cdot 89\cdot 88\cdot 87\cdot 86\cdot 85!}{5!\cdot 85!}=\frac{90\cdot 89\cdot 88\cdot 87\cdot 86}{5!}=\frac{90\cdot 89\cdot 88\cdot 87\cdot 86}{120}=\frac{3\cdot 89\cdot 88\cdot 87\cdot 86}{4}=3\cdot 89\cdot 22\cdot 87\cdot 86=…$

Ed eseguendo quest’ultima moltiplicazione si ottiene 43949268.

Esempio 5.2.- Quante sono le combinazioni di 90 numeri con due prefissati?

Esempio 5.3.- Quanti incontri singolari di tennis si possono organizzare con 12 giocatori?

Esempio 5.4. Determinare tutti gli incontri possibili di cinque squadre in un torneo di calcio con girone all’italiana. Determinare tutti gli incontri.

Se non sai risolvere l’esercizio vedi il mio canale Youtube

Esempio 6.1.- Combinazioni con ripetizioni.- $\displaystyle C^{‘}_{n,k}=\frac{\left ( n+k-1 \right )}{k!\left ( n-1 \right )!}$ . Quanti coktaili si possono formare con due dei seguenti cinque liquori: GIN, VODKA, GRAPPA, WHISKY, TEQUILA?

Esempio 6.2.- Quanti prodotti di sei fattori si possono formare con le tre lettere X;Y;Z?

Esempio 7.1.-  Altri problemi.- Ad un torneo estivo ci calcio partecipano 5 squadre. Determinare il numero degli incontri in un torneo a girone all’italiana. Determinare inoltre il numero degli incontri in un girone all’italiana con andata e ritorno; calcolare tutti gli incontri.

Vedi il mio video su Youtube per affrontare il problema

Esempio 7.2.- Risolvere le seguenti due equazioni collegate al calcolo combinatorio.

\[C_{x+2,\, 3}=3\cdot C_{x+1,\, 2}\]

\[C_{x-1,\, 2}=1\]

Vedi esercizio svolto sul mio canale Youtube

Esempio7.3.– Risolvere la seguente equazione collegate al calcolo combinatorio con permutazioni e disposizioni semplici

\[P_{3}\cdot C_{x-1,\, 2}=D_{x-2,\, 4}\]

Vedi esercizio svolto sul mio canale Youtube

Esempio 7.4.- Risolvere la seguente equazione collegate al coefficienti binomiale.

\[\frac{1}{3!}\left ( x^{2}+x \right )=\binom{x+2}{3}+\frac{1}{3}\binom{x+1}{2}\]

Vedi esercizio svolto sul mio canale Youtube

Esempio 7.5.- Sviluppare i seguenti binomi: \[\left ( a+b \right )^{7},\left ( 2x-1 \right )^{8},\left ( \frac{1}{2}x-y \right )^{10}\]

Esempio 7.6.- Risolvere il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} x\cdot P_{3}+yD_{4,3} &=84 \\ x\cdot C_{5,2}-y\cdot D_{5,2} & =-40 \end{matrix}\right.\]