Esercizi svolti sulla parabola

 

Esempio 1.1.- Data la parabola d’equazione $\displaystyle y=-x^{2}+bx+c$ determinare la parabola passante per i punti (0,-8) e (-3,1) e rappresentarla nel piano cartesiano. Inoltre, trovare l’equazione della parabola con vertice V(5/2; 9/4), rappresentarla e determinare la distanza tra i fuochi delle due parabole.

Esempio 1.2.- Data la parabola $x=-y^{2}+2y+1$ e la retta x+y-1=0 determinare l’area del triangolo ABF ove F è il fuoco della parabola e A e B i punti d’intersezione della retta data con la parabola.

Risoluzione

Il fuoco della parabola è il punto F di coordinate (7/4,1). I punti A e B hanno rispettivamente coordinate (1,0) e (-2,3), il che si vede mettendo a sistema la parabola e la retta date. Per calcolare l’area del triangolo ABF scegliamo come base AB e come altezza h del triangolo (relativa alla base AB) la distanza del punto F dalla retta data. Si ha:

\[ AB=3\sqrt{2},\, \, \, h=d=\frac{7\sqrt{2}}{8}\]

e l’area del triangolo ABF vale 21/8.

Esempio 1.3.- Determinare l’equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y e tangente nel punto di ascissa x = 1 alla retta 2x – y = 0

Esempio 1.4.- Determinare l’equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y avente il vertice nel punto V(0,4) e passante per il punto A(-2,0)

Risoluzione

La parabola d’equazione $y=ax^{2}+bx+c$:

  • ha il vertice di ascissa  x = 0 il che implica: -b/2a = 0 cioè b = 0
  • Il vertice essendo un punto della parabola implica: 4 = a(0)^2 +b (0) + c cioè c = 4
  • la parabola passa per A(-2,0) se: 0 = a(-2)^2+ b(-2) + c
    cioè 0 = 4a – 2b + c

Pertanto mettendo a sistema le tre equazioni si ha: b = 0, c = 4 e a = -1 e la parabola ha equazione

\[y=-x^{2}+4\]

Esempio 2.1.- Data la parabola $y=-x^{2}+4$ determinare la retta tangente alla parabola e perpendicolare alla retta 3x + 6y – 5 = 0.

Risultato: y = 2x+5; vedi qui

Esempio 2.2.- Date le parabole d’equazioni $y=x^{2}-2x+c+3/2$ e $y=-x^{2}+4cx$ determinare il valore di c per il quale siano tangenti.

Suggerimento:  Se le parabole devono essere tangenti allora avranno un sol punto in comune…

Esempio 3.1.- Determinare l’equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y passante per i punti A(0,1), B(1,0) e C(-1,-1).

Risoluzione

La parabola d’equazione $y=ax^{2}+bx+c$:

  • passa per il punto A(0,1) se: \[ 1=a\left ( 0 \right )^{2}+b(0)+c\to c=1\]
  • passa per il punto B(1,0) se: \[ 0=a\left ( 1 \right )^{2}+b(1)+c\to 0=a+b+c\]
  • passa per il punto C(-1,-1) se: \[ -1=a\left ( -1 \right )^{2}+b(-1)+c\to -1=a-b+c\]

Quindi mettendo a sistema le condizioni trovate si ha:

\[ \left\{\begin{matrix}c & =1 \\0 &=a+b+c \\-1 &=a-b+c \\\end{matrix}\right.\]…e risolvendo il sistema si ha a=… , b = …, c = 1. Sostituendo nell’equazione della parabola…

Esempio 3.2.- Determinare l’equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y con vertice nel punto V(-3,1) e fuoco F(-3, -3/4)
Se non lo sai risolvere vedi la risoluzione sul mio canale Youtube

Esempio 3.3.- Determinare l’equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y con vertice nel punto V(-2,1) e passa per il punto P(0,-3)

Esempio 3.4.- Determinare l’equazione della parabola con direttrice x = -1 e fuoco nel punto F(3,-2) 

Altri esercizi sulla parabola li puoi consultare nel mio canale Matematica Facile

Esempio 4.1.- Per quale valore di m la parabola di equazione $y=x^{2}-2x+m-1$ stacca sulla retta y = 2 un segmento di misura 3?

Risoluzione ragionata

Mettere a sistema l’equazione della parabola con la retta y = 2, determinare i punti d’intersezione tra le due curve, diciamoli A e B, e poi calcolare la distanza tra i punti A e B e porre tale distanza uguale a 3; si otterrà un’equazione in m e che bisognerà risolvere…

Esempio 4.2.- Data la parabola $x=2y^{2}-8y+9$ e la retta r) 2y = x determinare la retta parallela alla retta r e che stacca sulla parabola una corda di lunghezza $3\sqrt{5}$.
Risultato: y = (1/2)x-1/2

Risoluzione ragionata

Indichiamo con y = mx + q l’equazione della retta richiesta. Bisogna dunque determinare m e q in base alle condizioni assegnate dal problema. Possiamo subito intuire che m = 1/2 perché la retta richiesta deve essere parallela alla retta r) 2y = x di coefficiente angolare m = 1/2. Pertanto la retta richiesta ha equazione $y=\frac{1}{2}x+q$, e bisogna dunque determinare ancora q. Per calcolare q mettiamo a sistema la parabola con la retta $y=\frac{1}{2}x+q$ e determiniamo i due punti, diciamoli A e B, d’intersezione in funzione di q. Quindi calcoliamo la distanza AB e poniamola uguale a $3\sqrt{5}$, ottenendo così un’equazione in q. Risolta tale equazione in q…

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