In questo numero proponiamo alcuni esercizi svolti sulle serie numeriche. Precisamente stabiliremo la convergenza o divergenza di una serie in base ai criteri di convergenza.
Esempio 1.- Criterio necessario.-
$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }ln\left ( \frac{n}{n+1} \right )$
\[\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{n}{n+1}\]
\[\sum_{n=1}^{+\infty}e^{\frac{1}{n}}\]
\[\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^{n}\]
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{6+\sqrt{n}}\]
Esempio 2.- Criterio convergenza di Cauchy.- \[\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n}\]
Esempio 3.-\[\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n!}\]
Esempio 4.- Criterio del confronto asintotico.- \[\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^{2}+5n+2}\]
\[\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{n(n+3)}}\]
\[\sum_{n=1}^{+\infty }sen\frac{1}{n}\]
Esempio 5.- Criterio della radice.- Studiare il carattere delle seguenti serie: \[\sum_{n=3}^{+\infty }(ln\, n)^{-n}\]
Non sai applicare il criterio della radice? E’ semplicissimo…. vedi il mio video su Youtube!
\[\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{13^{n}}{n^{n}}\]
\[\sum_{n=1}^{+\infty }\left ( \frac{2}{3}+\frac{4}{n} \right )^{n}\]
\[\sum_{n=1}^{+\infty }\left [ 5^{n}\left ( \frac{n+4}{n} \right )^{n^{2}} \right ]\]
\[\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{n^{n}}{(2n)^{n}}\]
\[\sum_{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{17}{12} \right )^{n}\]
\[\sum_{n=1}^{+\infty }\left ( \frac{1}{n}+2 \right )^{3n}\]
\[\sum_{n=1}^{+\infty }\left ( n\cdot sen\frac{5}{n} \right )^{n}\]
\[\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{1}{e^{n}+e^{-n}}\]
\[\sum_{n=1}^{+\infty }e^{1-7n}\]
\[\sum_{n=1}^{+\infty }\left ( \frac{n}{n+1} \right )^{n^{2}}\]
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)^{n^{2}sen\frac{1}{n}} \]
Esempio 6.- Criterio del rapporto.- Studiare il carattere delle seguenti serie: \[\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{1}{n!}\]
Non sai applicare il criterio del rapporto? E’ semplicissimo….vedi il mio video su Youtube
$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{5^{n}}{\left ( n+1 \right )!}$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{2n^{2}+5}{7^{n}}$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{3n^{3}}{(ln\, 5)^{n}}$
$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty }\frac{4^{n}}{n+3}$
$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty }\frac{3^{2n-1}}{n^{2}+2n+3}$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{n+3^{n}}{n+n!}$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }cos^{2}\left ( \frac{1}{n} \right )$
\[\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{n}{3^{n}}\]
\[\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{n!}{n^{n}}\]
Esempio 8.- Criterio di Leibnitz.- Studiare il carattere delle seguenti serie:
\[\sum_{n=1}^{+\infty }\left ( -1 \right )^{n-1}\frac{1}{n}\]
\[\sum_{n=0}^{+\infty }\left ( -1 \right )^{n}\frac{1}{n!}\]
\[\sum_{n=1}^{+\infty }\left ( -1 \right )^{n}\frac{ln\, n}{n}\]
Esempio 9.-
(assoluta convergenza)
Esempio 10.- Criterio dell’integrale \[\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n}\]
\[\sum_{n=2}^{+\infty }\frac{1}{nln^{2}n}\]
\[\sum_{n=2}^{+\infty }e^{-\frac{n}{2}}\]
\[\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^{3}-ln\, n}\]
(criterio dell’integrale)
Esempio 11.- Studiare le seguenti serie a termini positivi: \[\sum_{n=1}^{+\infty }\left ( 1-cos\frac{1}{n} \right ),\, \sum_{n=1}^{+\infty }\left ( \frac{n}{\left ( n+1 \right )^{3}} \right ),\, \sum_{n=2}^{+\infty }\left ( \frac{1}{ln(n)} \right ),\, \sum_{n=1}^{+\infty }\left ( \frac{n^{n}}{\left ( 2n \right )!} \right ),\sum_{n=1}^{+\infty }\left ( \frac{1}{n+\sqrt{n}} \right ),\, \sum_{n=1}^{+\infty }\left ( \frac{1}{\left ( ln\, n \right )^{n}} \right ),\sum_{n=1}^{+\infty }\left ( \frac{5^{n}}{n^{n}} \right ),\, \sum_{n=1}^{+\infty }\left (\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}} \right ),\, \sum_{n=1}^{+\infty }\left ( \frac{1}{n+5ln^{3}n} \right ), \]
Esempio 12.1.- Studiare le seguenti serie a termini positivi: \[\sum_{n=2}^{+\infty }\frac{1}{(ln\, n)^{p }}\,\, con\, \, p>0\] \[\sum_{n=2}^{+\infty }\frac{1}{n(ln\, n)^{p }}\,\, con\, \, p>0\]
Esempio 13.- Studiare le seguenti serie a segni alterni: \[\sum_{n=1}^{+\infty }\left ( -1 \right )^{n}sen\frac{1}{n},\,\, \sum_{n=1}^{+\infty }\left ( -1 \right )^{n}arctan\frac{1}{2n+1},\, \sum_{n=2}^{+\infty }ln\left ( 1+\frac{(-1)^{n}}{n} \right ),\]
Esempio 14.- Studiare la convergenza assoluta delle seguenti serie: \[\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{2+(-1)^{n}\cdot n}{2^{n}},\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{sen\, nx}{n^{2}},\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1+(-1)^{n}\cdot n}{n^{4}+1}\]
Esempio 15.- Studiare la serie: \[\sum_{n=1}^{+\infty }n\int_{0}^{\frac{1}{n}}\frac{sen^{\alpha }\left ( t\sqrt{t} \right )}{t}dt\, \, \, con\, \alpha >0\]
Esempio 16.- Studiare la serie: \[\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{e^{n}n!}{n^{^{n}}}\]
Esempio 17.- Studiare la serie: \[\sum_{n=1}^{+\infty }n\left ( ln\left ( 1+\frac{1}{n} \right ) -sen\frac{1}{n}\right )\]
Esempio 18.- Studiare la serie: \[\sum_{n=1}^{+\infty }\left ( \sqrt{n^{2}+n}-n \right )\left ( n\cdot tan\frac{1}{n} -1\right )\]