Espressione delle funzioni goniometriche in funzione di una di esse

Espressione delle funzioni goniometriche in funzione di una di esse

Funzioni goniometriche espresse in seno

\[cos\alpha =\pm \sqrt{1-sen^{2}\alpha },\, \, \, tan\alpha =\frac{sen\alpha }{\pm \sqrt{1-cos}\alpha },\, \, \, cot\alpha =\frac{\pm \sqrt{1-sen^{2}\alpha }}{sen\alpha }\]

Funzioni goniometriche espresse in coseno

\[sen\alpha =\pm \sqrt{1-cos^{2}\alpha },\, \, \, ,\, \, \, tan\alpha =\frac{\pm \sqrt{1-cos^{2}\alpha }}{cos\alpha },\, \, \, \, \, \, \, cot\alpha =\frac{cos\alpha }{\pm \sqrt{1-cos^{2}\alpha } }\]

Funzioni goniometriche espresse in tangente

\[sen\alpha =\frac{tan\alpha }{\pm \sqrt{1+tan^{2}\alpha }},\, \, \, \, \, \, cos\alpha =\frac{1}{\pm \sqrt{1+tan^{2}}\alpha },\, \, \, \, \, \, \, cot\alpha =\frac{1 }{tan\alpha}\]

Funzioni goniometriche espresse in cotangente

\[sen\alpha =\frac{1 }{\pm \sqrt{1+cot^{2}\alpha }},\, \, \, \, \, \, cos\alpha =\frac{cot\alpha }{\pm \sqrt{1+cot^{2}}\alpha },\, \, \, \, \, \, \, tan\alpha =\frac{1 }{cot\alpha}\]

Esempio 1.- Sapendo che \[cos\alpha =-\frac{4}{5}, \, \, \, \, \, con\, \, \, \, 90^{\circ} < \alpha< 180^{\circ}\] calcolare il valore delle altre funzioni goniometriche. Si ha:

\[sen\alpha =\pm \sqrt{1-cos^{2}\alpha }=\pm \sqrt{1-\left ( -\frac{4}{5} \right )^{2}}=+\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}\]

\[tan\alpha =\frac{sen\alpha }{cos\alpha }=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}\]

\[cot\alpha =\frac{1}{tan\alpha }=\frac{1}{-\frac{3}{4}}=-\frac{4}{3}\]

Precedente Relazioni fondamentali della goniometria Successivo Valori fondamentali delle funzioni goniometriche