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Fattoriale di n doppio fattoriale e coefficiente binomiale

1. Fattoriale di un numero naturale n.

Si dice fattoriale di un numero naturale n il prodotto dei primi n numeri naturali e si indica con il simbolo n!. Si ha:

\[n!=n\cdot \left ( n-1 \right )\cdot \left ( n-2 \right )\cdot \left ( n-3 \right )\cdot …\cdot 3\cdot 2\cdot 1\]

si può anche scrivere: $\displaystyle n!=\prod_{k=1}^{n}k=1\cdot 2\cdot 3\cdot …\cdot (n-1)\cdot n$

Inoltre si pone: \[1!=1,\, \, \, 0!=1\]

Esempio 1.1.- Calcolare il fattoriale di 7. Si ha \[7!=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5040\]

Esempio 1.2.- Calcolare $\displaystyle \frac{8!}{6!}$

Si ha:\[\frac{8!}{6!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6!}{6!}=8\cdot 7=56\]

Esempio 1.3.- Calcolare $\displaystyle \frac{5!\cdot 3}{2!\left ( 6-5 \right )!}\cdot \frac{(2+5-3)!}{(9-4)!}+\left ( 8-8 \right )!$

NOTA.- Non si calcola il fattoriale di un numero frazionario. Per vedere una generalizzazione del concetto di fattoriale clicca qui

Per valori molto grandi di n si può calcolare il valore di n! con la formula di approssimazione di Stirling:  \[n!\approx \sqrt{2\pi n}\left ( \frac{n}{e} \right )^{n}\]
Una calcolatrice riesce a calcolare 69! ma non 70! e duqnue la formula suddetta può essere utile.

2. Doppio fattoriale o semifattoriale di un numero naturale n.

Analogamente al simbolo n! si definisce il simbolo n!!, si chiama doppio fattoriale di n, ed indica il prodotto dei numeri naturali  non superiori ad n aventi la stessa parità di n.

Se n è un numero naturale pari si può scrivere come n = 2k con k numero naturale e si ha:

\[2k!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot …\cdot \left ( 2k \right )\]

Se n è un numero naturale dispari si può scrivere come n = 2k – 1, con k numero naturale e si ha:

\[(2k-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 8\cdot …\cdot \left ( 2k-1 \right )\]

Ricordiamo che:

\[(2k)!!=2^{k}\cdot k!\]

\[n!=n!!\cdot \left ( n-1 \right )!,\, \, \, \, \, \, \, \forall n\in N\]

$\displaystyle \frac{\left ( 2n+1 \right )!}{2^{n}\cdot n!}=\left ( 2n+1 \right )!!$

Esempio 2.1.- Calcolare il  doppio fattoriale di 7 e il doppio fattoriale di 12.

Si ha \[7!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7=105\]

\[12!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10\cdot 12=46080\]

3. Coefficiente binomiale

Il simbolo $\displaystyle \binom{n}{k}$ si chiama coefficentei binomiale ed è una notaziona abbreviata per indicare $\displaystyle \frac{n!}{k!\cdot \left ( n-k \right )!}$ . Si ha:

\[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot \left ( n-k \right )!}\]

Il numero n si dice indice e k si dice base del coefficiente binomiale.

Proprietà dei coefficienti binomiali:

Proprietà elementari:

$\displaystyle \binom{n}{1}=n,\, \, \binom{n}{0}=1,\, \, \binom{n}{n}=1$

Proprietà dei termini complementari:

$\displaystyle \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$

Proprietà dei tre fattoriali:

\[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot \left ( n-k \right )!}\]

Propietà di Stiefel:

$\displaystyle \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}$

Se si aggiunge una unità ad ogni indice e ad ogni base nella formula precedente si ottiene:

\[\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k+1}+\binom{n}{k}\]

Proprietà di ricorrenza:

$\displaystyle \binom{n}{k+1}=\binom{n}{k}\cdot \frac{n-k}{k+1}$

Sviluppo della potenza ennesima di un binomio e triangolo di Pascal ( formula di  Newton-Tartaglia):

$\displaystyle \left ( a+b \right )^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}\cdot b^{k}$

Quindi i coefficienti dello sviluppo ennesimo di una potenza sono proprio i coefficienti binomiali calcolalti al variare di k da zero ad n.

Ricordiamo anche che:

$\displaystyle C_{n,k}=\binom{n}{k}$

$\displaystyle C_{n,k}^{‘}=\binom{n +k-1}{k}$

$\displaystyle P_{n}^{k,n-k}=\binom{n}{k}$