Problema di fisica alla Maturità Scientifica

Per la prima volta è stato assegnato nel 2019, come annunciato dal Ministero, una problema di Fisica, probabilemente non alla portata della maggioranza dei candidati. Inoltre il questionario conteneva tre quesiti di fisica. Come preparare la prova di Matematica e Fisica alla Maturità Scientifica? Clicca qui

Problema 2 (Fisica).- Sessione ordinaria 2019.- Un condensatore piano parallelo è formato da due armature circolari di raggio R, poste a distanza d, dove R e d sono espresse in metri (m). Viene applicata alle armature una differenza di potenziale variabile nel tempo ed inizialmente nulla. All’interno del condensatore si rileva la presenza del campo magnetico $\displaystyle \overrightarrow{B}$. Trascurando gli effetti di bordo, a distanza r dall’asse di simmetria del condensatore, l’intensità di $\displaystyle \overrightarrow{B}$, espressa in tesla (T) varia secondo la legge \[\left | \overrightarrow{B} \right |=\frac{kt}{\sqrt{\left ( t^{2}+a^{2} \right )^{3}}}r\, \, \, \, con\,\, r\leq R\] dove a e k sono costanti positive e t il tempo trascorso dall’istante iniziale, espresso in secondi (s).

Dopo aver determinato le unità di misura di a e k, spiegare perché nel condensatore è presente un campo magnetico anche in assenza di magneti e correnti di conduzione. Qual è la relazione tra le direzioni di $\displaystyle \overrightarrow{B}$ e del campo elettrico $\displaystyle \overrightarrow{E}$ nei punti interni al condensatore?

Si consideri, tra le armature, un piano perpendicolare all’asse di simmetria. Su tale piano, sia C la circonferenza avente centro sull’asse e raggio r. Determinare la circuitazione di $\displaystyle \overrightarrow{B}$ lungo C e da essa ricavare che il flusso di $\displaystyle \overrightarrow{E}$, attraverso la superficie circolare C, è dato da:\[\Phi \left ( \overrightarrow{E} \right )=\frac{2k\pi r^{2}}{\mu _{0}\cdot \epsilon _{0}}\left ( \frac{-1}{\sqrt{t^{2}+a^{2}}}+\frac{1}{4} \right )\]

Calcolare la differenza di potenziale tra le armature. A quale valore tende $\left | \overrightarrow{B} \right |$ al trascorrere del tempo? Giustificare la risposta dal punto di vista fisico.

Per a > 0 si consideri la funzione $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ definita da $\displaystyle f(t)=-\frac{t}{\sqrt{\left ( t^{2}+a^{2} \right )^{3}}}$ . Verificare che la funzione $\displaystyle F(t)=\frac{1}{\sqrt{t^{2}+a^{2}}}-\frac{1}{a}$ è la primitiva di f il cui grafico passa per l’origine. Studiare la funzione F, individuandone eventuali simmetrie, asintoti ed estremi. Provare che F presenta due flessi nei punti di ascisse $\displaystyle t=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}a$  e determinare le pendenze delle rette tangenti al grafico di F in tali punti.

Con le opportune motivazioni, dedurre il grafico di f da quello di F, specificando cosa rappresentano le ascisse dei punti di flesso di F per la funzione f. Calcolare l’area della regione compresa tra il grafico di f, l’asse delle ascisse e le rette parallele all’asse delle ordinate passante per gli estremi della funzione. Fissato b > 0, calcolare il valore di $\displaystyle \int_{-b}^{b}f(t)dt$.

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