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Problema 2 (Fisica).- Sessione ordinaria 2019.- Un condensatore piano parallelo è formato da due armature circolari di raggio R, poste a distanza d, dove R e d sono espresse in metri (m). Viene applicata alle armature una differenza di potenziale variabile nel tempo ed inizialmente nulla. All’interno del condensatore si rileva la presenza del campo magnetico $\displaystyle \overrightarrow{B}$. Trascurando gli effetti di bordo, a distanza r dall’asse di simmetria del condensatore, l’intensità di $\displaystyle \overrightarrow{B}$, espressa in tesla (T) varia secondo la legge \[\left | \overrightarrow{B} \right |=\frac{kt}{\sqrt{\left ( t^{2}+a^{2} \right )^{3}}}r\, \, \, \, con\,\, r\leq R\] dove a e k sono costanti positive e t il tempo trascorso dall’istante iniziale, espresso in secondi (s).
Dopo aver determinato le unità di misura di a e k, spiegare perché nel condensatore è presente un campo magnetico anche in assenza di magneti e correnti di conduzione. Qual è la relazione tra le direzioni di $\displaystyle \overrightarrow{B}$ e del campo elettrico $\displaystyle \overrightarrow{E}$ nei punti interni al condensatore?
Si consideri, tra le armature, un piano perpendicolare all’asse di simmetria. Su tale piano, sia C la circonferenza avente centro sull’asse e raggio r. Determinare la circuitazione di $\displaystyle \overrightarrow{B}$ lungo C e da essa ricavare che il flusso di $\displaystyle \overrightarrow{E}$, attraverso la superficie circolare C, è dato da:\[\Phi \left ( \overrightarrow{E} \right )=\frac{2k\pi r^{2}}{\mu _{0}\cdot \epsilon _{0}}\left ( \frac{-1}{\sqrt{t^{2}+a^{2}}}+\frac{1}{4} \right )\]
Calcolare la differenza di potenziale tra le armature. A quale valore tende $\left | \overrightarrow{B} \right |$ al trascorrere del tempo? Giustificare la risposta dal punto di vista fisico.
Per a > 0 si consideri la funzione $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ definita da $\displaystyle f(t)=-\frac{t}{\sqrt{\left ( t^{2}+a^{2} \right )^{3}}}$ . Verificare che la funzione $\displaystyle F(t)=\frac{1}{\sqrt{t^{2}+a^{2}}}-\frac{1}{a}$ è la primitiva di f il cui grafico passa per l’origine. Studiare la funzione F, individuandone eventuali simmetrie, asintoti ed estremi. Provare che F presenta due flessi nei punti di ascisse $\displaystyle t=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}a$ e determinare le pendenze delle rette tangenti al grafico di F in tali punti.
Con le opportune motivazioni, dedurre il grafico di f da quello di F, specificando cosa rappresentano le ascisse dei punti di flesso di F per la funzione f. Calcolare l’area della regione compresa tra il grafico di f, l’asse delle ascisse e le rette parallele all’asse delle ordinate passante per gli estremi della funzione. Fissato b > 0, calcolare il valore di $\displaystyle \int_{-b}^{b}f(t)dt$.