Formula di Bayes

La formula di Bayes dà una risposta alla seguente domanda: se un certo evento E si è verificato qual è la probabilità che la causa del suo verificarsi sia stato un evento C (evento causa)?
La risposta alla seguente domanda è espressa dalla formula di Bayes: \[p\left ( C/E \right )=\frac{p\left ( C \right )\cdot p\left ( E/C \right )}{p\left ( E \right )}\] e che si può scrivere anche nel seguente modo \[p\left ( E_{2}/E_{1} \right )=\frac{p\left ( E_{2} \right )\cdot p\left ( E_{1}/E_{2} \right )}{p\left ( E_{1} \right )}\] ed esprime la probabilità che la causa del verificarsi dell’evento \[E=E_{1}\]
sia stato proprio \[C=E_{2}\]
Tali formule esprimono la probabilità cercata nel caso di una sola causa \[C=E_{2}\] ma la formula si può generalizzare nel seguente modo \[p\left ( C_{i}/E \right )=\frac{p(C_{i})\cdot p\left ( E/C_{i} \right )}{\sum_{i=1}^{n}p(C_{i})\cdot p(E/C_{i})}\]
ed esprime  la probabilità che la causa del verificarsi dell’evento E, dipendente da n cause\[C_{1},C_{2},…,C_{n},\] sia stato l’evento \[C_{i}.\]

Esempio 1.- Un negoziante vende cioccolatini di due tipi, Fondente e a Latte, e che tiene alla rinfusa in due scatole, scatola Rossa e scatola Bianca. Un bambino entra e chiede un cioccolatino, il negoziante prende a caso un cioccolatino da una delle due scatole e dà al bambino un cioccolatino Fondente. Sapendo che nella scatola Rossa ci sono 30 cioccolatini Fondente e 15 al Latte e che nella scatola Bianca ci sono 20 cioccolatini Fondente e 30 al Latte, calcolare la probabilità che il cioccolatino Fondente consegnato al bambino provenga dalla scatola Rossa.

Risoluzione

Supponiamo che la probabilità di scegliere dalla scatola Rossa o Bianca sia la stessa, dunque pari ad 1/2, e applicando la formula di Bayes per due cause si ha: \[p(C_{1}/E)=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}}{\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}}=\frac{5}{8}\]

avendo indicato con \[C_{1}=\left \{ essere\, \, scelto\, \, dalla\, \, scatola\, \, Rossa \right \}\]
e con \[E= \left \{ cioccolatino\, fondente \right \}\]

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