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Formula di Bayes e probabilità condizionata

La formula di Bayes dà una risposta alla seguente domanda: se un certo evento E si è verificato qual è la probabilità che la causa del suo verificarsi sia stato un evento C (evento causa)?
La risposta alla seguente domanda è espressa dalla formula di Bayes: \[p\left ( C/E \right )=\frac{p\left ( C \right )\cdot p\left ( E/C \right )}{p\left ( E \right )}\] e che si può scrivere anche nel seguente modo \[p\left ( E_{2}/E_{1} \right )=\frac{p\left ( E_{2} \right )\cdot p\left ( E_{1}/E_{2} \right )}{p\left ( E_{1} \right )}\] ed esprime la probabilità che la causa del verificarsi dell’evento \[E=E_{1}\]
sia stato proprio \[C=E_{2}\]
Tali formule esprimono la probabilità cercata nel caso di una sola causa \[C=E_{2}\] ma la formula si può generalizzare nel seguente modo \[p\left ( C_{i}/E \right )=\frac{p(C_{i})\cdot p\left ( E/C_{i} \right )}{\sum_{i=1}^{n}p(C_{i})\cdot p(E/C_{i})}\]
ed esprime  la probabilità che la causa del verificarsi dell’evento E, dipendente da n cause\[C_{1},C_{2},…,C_{n},\] sia stato l’evento \[C_{i}.\]

Esempio 1.1.- Un negoziante vende cioccolatini di due tipi, Fondente e a Latte, e che tiene alla rinfusa in due scatole, scatola Rossa e scatola Bianca. Un bambino entra e chiede un cioccolatino, il negoziante prende a caso un cioccolatino da una delle due scatole e dà al bambino un cioccolatino Fondente. Sapendo che nella scatola Rossa ci sono 30 cioccolatini Fondente e 15 al Latte e che nella scatola Bianca ci sono 20 cioccolatini Fondente e 30 al Latte, calcolare la probabilità che il cioccolatino Fondente consegnato al bambino provenga dalla scatola Rossa.

Risoluzione

Supponiamo che la probabilità di scegliere dalla scatola Rossa o Bianca sia la stessa, dunque pari ad 1/2, e applicando la formula di Bayes per due cause si ha: \[p(C_{1}/E)=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}}{\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}}=\frac{5}{8}\]

avendo indicato con \[C_{1}=\left \{ essere\, \, scelto\, \, dalla\, \, scatola\, \, Rossa \right \}\]
e con \[E= \left \{ cioccolatino\, fondente \right \}\]

Se non riesci a fare l’esercizio prova a vedere il mio video su Youtube

Provare a fare l’esercizio ipotizzando che il negoziante estragga 2 volte su 3 dalla scatola Rossa.

Altri esempi svolti

Esempio 2.1.- Probabilità condizionata.- A un esame di universitario si presentano sia studenti che hanno seguito il corso sia studenti che non l’hanno seguito. Secondo Il docente il 65% degli studenti ha seguito il corso. La probabilità che uno studente superi l’esame sapendo che ha seguito il corso è 0,75, mentre la probabilità che superi l’esame, sapendo che non ha seguito il corso, è 4 persone su 10.
Stabilire secondo il docente:

  1. Quali sono gli eventi descritti dal testo?
  2. Nel teso sono già espresse delle misure di probabilità. A quali eventi si riferiscono? Per ciascuno evento, scrivere la sua probabilità in rappresentazione decimale.
  3. Qual è la probabilità che uno studente superi l’esame?
  4. Qual è la probabilità che uno studente abbia seguito il corso sapendo che non ha superato l’esame?
  5. Qual è la probabilità che uno studente scelto a caso abbia superato l’esame o non abbia seguito il corso?

Risoluzione

Indichiamo con A e B i due eventi elementari:

A = { lo studente supera l’esame},

B = { lo studente ha seguito il corso};

con $\displaystyle \overline{B}$ l’evento contrario a B, con P(B) la probabilità dell’evento B e con $\displaystyle P\left (\overline{B} \right )$ la probabilità dell’evento contrario a B.

Dato che il docente ritiene che “il 65% degli studenti ha seguito il corso”, approssimando la probabilità con la frequenza relativa, si ha P(B) = 0.65 e applicando la formula della probabilità dell’evento contrario si ha:

\[P\left (\overline{B} \right )=1-P(B)=1-0,65=0,35\]

Inoltre $\displaystyle P\left ( A/B \right )=0,75\, \, \, \, \, \, P(A/\overline{B})=0,40$ , visto che sono assegnati dal testo.
A questo punto possiamo rispondere alla terza domanda,
Osserviamo che l’evento A si può riguardare come \[A=\left ( A\cap B \right )\cup \left ( A\cap \overline{B} \right )\]
e dunque la probabilità è \[P\left ( A \right )=P\left ( A\cap B \right )+P\left ( A\cap \overline{B} \right )=0,4875 + 0,1400 = 0,6275\]
ossia 0,6275 è la probabilità che lo studente superi l’esame.
Quarta domanda. Mentre $\displaystyle P\left ( B/A \right )$ , ovvero la probabilità che lo studenti abbia seguito il corso ammesso che superi l’esame è: \[P\left ( B/A \right )=\frac{P\left ( A\cap B \right )}{P(B)}=\frac{0,4875}{0,65}=0,7769\]

Altri esempi svolti

Osservazione

\[P(A\cap B)=P(A/B)\cdot P(B)=0,75\cdot 0,65=0,4875\]

\[P(A\cap \overline{B})=P(A/\overline{B})\cdot P(\overline{B})=0,40\cdot 0,35=0,1400\]