Formule di goniometria

Formule di addizione e sottrazione
Formule per il coseno e per il seno:

\begin{matrix} cos\left ( \alpha +\beta \right ) &=cos\alpha\, cos\beta -sen\alpha sen\beta \\ cos\left ( \alpha -\beta \right ) &=cos\alpha\, cos\beta +sen\alpha sen\beta \\ sen\left ( \alpha +\beta \right ) &=sen\alpha\, cos\beta +sen\beta cos\alpha \\ sen\left ( \alpha -\beta \right ) &=sen\alpha\, cos\beta -sen\beta cos\alpha \end{matrix}

Formule di addizione e sottrazione per la tangente e la cotangente

tan\left ( \alpha +\beta \right )=\frac{tan\alpha +tan\beta }{1-tan\alpha tan\beta }

tan\left ( \alpha-\beta \right )=\frac{tan\alpha-tan\beta }{1+tan\alpha tan\beta }

cot\left ( \alpha+\beta \right )=\frac{cot\alpha\cdot cot\beta-1 }{cot\alpha+cot\beta }

cot\left ( \alpha-\beta \right )=\frac{cot\alpha\cdot cot\beta+1 }{cot\beta -cot\alpha }

Formule di duplicazione

\begin{matrix} cos\left ( 2\alpha\right ) &=cos^{2}\alpha\ -sen^{2}\alpha \\ sen\left ( 2\alpha \right ) &=2\cdot sen\alpha\, cos\alpha \\ \end{matrix}

tan2\alpha =\frac{2tan\alpha }{1-tan^{2}\alpha }


cot2\alpha =\frac{cot^{2}\alpha-1 }{2cot^{2}\alpha }

Formule di bisezione

Formule di bisezione

tg sta per tangente, ctg per cotangente.

Esempio 1.- Calcolare il seno di 15°. Applicando la formula di bisezione del seno si ha:

sen15^{\circ}=sen\frac{30^{\circ}}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cos30^{\circ}}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\frac{1}{4}\sqrt{2-\sqrt{3}}

In pratica conoscendo il coseno di 30° si riesce a calcolare il seno di 15°. Giova ricordare che tra i segni ± va scelto il segno + in quanto il seno di 15° è situato nel primo quadrante, ove il seno è positivo. Questo esempio evidenzia come le suddette formule possono essere utilizzate per calcolare i valori delle funzioni trigonometriche non rientranti nella tabella dei valori fondamentali delle funzioni goniometriche.

Formule parametriche 

sen\,\alpha =\frac{2\, tan\frac{\alpha }{2}}{1+tan^{2}\, \frac{\alpha }{2}}

 

cos\,\alpha =\frac{1- tan^{2}\frac{\alpha }{2}}{1+tan^{2}\, \frac{\alpha }{2}}

Se si pone

tan\frac{\alpha }{2}=t

 le suddette formule si trasformano nelle seguenti: 

sen\alpha =\frac{2t}{1+t^{2}}

 

cos\alpha =\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}

dette anche formule razionali.

Formule di prostaferesi

senp+senq=2sen\, \frac{p+q}{2}\cdot cos\, \frac{p-q}{2}


senp-senq=2cos\, \frac{p+q}{2}\cdot sen\, \frac{p-q}{2}


cosp+cosq=2sen\, \frac{p+q}{2}\cdot cos\, \frac{p-q}{2}


cosp-cosq=-2sen\, \frac{p+q}{2}\cdot cos\, \frac{p-q}{2}

tan\, p\pm tan\, q=\frac{sen\left ( p\pm q \right )}{cos\, p\cdot cos\, q}


cot\, p\pm cot\, q=\frac{sen\left ( q\pm p \right )}{sen\, p\cdot sen\, q}

Formule di Werner

Formule di Werner
Formule di Werner

Le formule di Werner permettono di trasformare un prodotto in una somma e viceversa, in quest'ultima forma sono molto utili in tanti casi.

 

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