Sia $X\subseteq R^{n}$ un insieme non vuoto. Un’applicazione di X in R si dice funzione reale o numerica definita in X e si indica con il simbolo:
$\displaystyle f:X\rightarrow R$
Se n = 1 allora la funzione f dipende da una sola variabile, in genere indicata con x, e l’immagine di x si denota con f(x):
$\displaystyle f:x\in X\subseteq R\, \rightarrow \, y=f(x)\in R$
Se X = N la funzione si chiama successione di numeri reali.
Esempio 1.1.- La funzione f $\displaystyle x\rightarrow \frac{x-1}{x^{2}+3}$ è di R in R. Per esempio il numero x = 2 ha per immagine f(2) = 1/7, mentre x = 0 ha per immagine f(0) = -1/3.
Se n = 2 la funzione f dipende da due variabili, in genere indicate con x e y, e l’immagine di f si indica con f(x,y):
$\displaystyle f:(x,y)\in X\subseteq R^{2}\, \rightarrow \, z=f(x,y)\in R$
Esempio 1.2.- La funzione f $\displaystyle \left ( x,y \right )\rightarrow \frac{x+y^{2}}{x-y}$ è di $\displaystyle R^{2}$ in R. Per esempio, alla coppia (3, 5) corrisponde il numero f(3,5) = -14, mentre la coppia (0,-1) ha per immagine f(0,-1) = 1. Per vedere esercizi svolti sul calcolo del dominio di una funzione di due variabili clicca qui
Se n = 3 la funzione f dipende da tre variabili, in genere indicate con x, y, e z e l’immagine di f si indica con f(x,y, z):
$\displaystyle f:(x,y,z)\in X\subseteq R^{3}\, \rightarrow \, w=f(x,y,z)\in R$
Esempio 1.3.- La funzione f \[\left ( x,y,z \right )\rightarrow \sqrt{x}+\frac{x}{y}-\sqrt{z+x}\] è di $\displaystyle R^{3}$ in R. Per esempio, alla terna (4, 5, 12) corrisponde il numero f(4,5,12) = -6/5, mentre la terna (0,-1,1) ha per immagine f(0,-1,1) = -1.
In generale se le variabili reali sono n la funzione f dipende da n variabili, in genere indicate con $\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},…,x_{n}$ e l’immagine di f si indica con $\displaystyle f\left (x_{1},x_{2},x_{3},…,x_{n} \right )$
$\displaystyle f:(x_{1},x_{2},…,x_{n})\in X\subseteq R^{n}\, \rightarrow \, f(x_{1},x_{2},…,x_{n})\in R$
Esempio 1.4.- La funzione f \[\left ( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5} \right )\rightarrow \frac{x_{1}-x_{5}}{x_{2}+x_{3}-2x_{4}+3}\]
è di $\displaystyle R^{5}$ in R. Per esempio, alla cinquina (4, 5, 1, 0, 2) corrisponde il numero f(4,5,1,0,2) = 2/9, mentre (0,-1, 1, 0, 0) ha per immagine f(0,-1,1,0,0) = 0.
Funzioni vettoriali.- Si dice funzione vettoriale un’applicazione:
$\displaystyle f: \overline{x}\in X\subseteq R^{n}\, \rightarrow \, \overline{y}\in R^{k}$
in questo caso $\displaystyle \overline{x}=\left ( x_{1},x_{2},…,x_{n} \right )$ e $\displaystyle \overline{y}=\left ( f_{1}\left ( \overline{x} \right ),f_{2}\left ( \overline{x} \right ),…,f_{k}\left ( \overline{x} \right ) \right )$
$\displaystyle \overline{y}=f\left ( \overline{x} \right )$
$\displaystyle \overline{y}$ è un vettore di k componenti e $\displaystyle \overline{x}$ di n componenti, $\displaystyle f=\left ( f_{1},f_{2},…,f_{k}\right )$ le $\displaystyle f_{1},f_{2},…,f_{k}$ si dicono componenti di f.
Esempio 2.1.- La funzione f $\displaystyle \left ( x,y \right )\rightarrow \left ( x+y,x,-2y-x \right )$ è di $\displaystyle R^{2}$ in $\displaystyle R^{3}$. Per esempio alla coppia (1, 2) corrisponde il vettore di componenti $\displaystyle \left ( 3,1,-5 \right )$, mentre al vettore (0, -10) corrisponde la terna $\displaystyle \left ( -10,0,+20 \right )$.
Esempio 2.2.- La funzione f $\displaystyle \left ( x,y,z,t \right )\rightarrow \left ( 3x+y,x+z+t,y-x-2t \right )$ è di $\displaystyle R^{4}$ in $\displaystyle R^{3}$. Per esempio alla quaterna (1, 2, 3, 4) corrisponde il vettore di componenti $\displaystyle \left ( 5,8,-7 \right )$, mentre al vettore (0, -1, 1,8) corrisponde la terna $\displaystyle \left ( -1,9,-17 \right )$.
Esempio 2.3.- La funzione f $\displaystyle \left ( x,y\right )\rightarrow \left ( x+y,19,y-x-2,4 \right )$ è di $\displaystyle R^{2}$ in $\displaystyle R^{4}$. Per esempio alla coppia (1, 2) corrisponde il vettore di componenti $\displaystyle \left ( 3,19,-1,4 \right )$, mentre al vettore (4, -8) corrisponde la quaterna $\displaystyle \left ( -4,19,-16,4 \right )$.
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