\[ \displaystyle \lim_{x \to x_{0}}f(x)\neq f\left ( x_{0} \right )\]
e la circostanza si può verificare in tre casi differenti:
Primo caso.- Esistono finiti e distinti i limiti sinistro e destro in $x_{0}$:
$\displaystyle \lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x)=l’,\, \displaystyle \lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x)=l”$
In tal caso si dice che il punto $x_{0}$ è discontinuità di prima specie per la funzione.
Secondo caso.- Almeno uno dei limiti sinistro e destro in $x_{0}$ è infinito o non esiste:
In questo secondo caso si dice che il punto $x_{0}$ è un punto di discontinuità di seconda specie, e si chiama anche punto di infinito.
Terzo caso.- Esiste il limite in $x_{0}$ ma la funzione non è definita in $x_{0}$, oppure la funzione è definita in $x_{0}$ ma non è uguale ad $f\left ( x_{0} \right )$:
In questo terzo caso si dice che il punto $x_{0}$ è di discontinuità di terza specie o elminabile per la funzione.
Esempio 1.- Data la funzione \[y=\frac{\left|x-3 \right|}{4(x-3)}\] stabilire nel punto $x_{0}=3$ il tipo di discontinuità.
Risoluzione ragionata
Calcolare il limite destro e sinistro in x = 3 e notare che i limiti sono diversi e finiti. Pertanto in x = 3 la funzione presenta una discontinuità di prima specie.
Esempio 2.- Data la funzione \[ y=\frac{x^{2}-7x+12}{x^{2}-3x}\] calcolare gli eventuali punti di discontinuità.
Risoluzione
La funzione è definita $\forall x\in R-\left\{0,\, \, 3 \right\}$ come si vede richiedendo che il denominatore sia diverso da zero.
Pertanto la funzione è continua in ogni punto del dominio \[ D=R-\left\{0,\, \, 3 \right\}\]
Resta dunque da capire cosa succede in x = 0 e x = 3, punti di non definizione della funzione. A tale scopo dobbiamo calcolare il limite in x = 3 e in x = 0.
Calcoliamo il limite in x = 3:
\[ \displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{x^{2}-7x+12}{x^{2}-3x}\to \displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{3^{2}-7(3)+12}{(3)^{2}-3(3)}=\frac{0}{0}\]
e visto che il limite si presenta nella forma indeterminata 0/0 dobbiamo eliminare l’indeterminazione ad esempio scomponendo il numeratore e il denominatore della frazione. Si ha:
\[ \displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{x^{2}-7x+12}{x^{2}-3x}\to \displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(x-4)}{x(x-3)}\to \displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{x-4}{x}=\frac{3-4}{3}=-\frac{1}{3}\]
e dunque visto che la funzione non è definita in x = 3 ma il limite esiste e vale $l=-\frac{1}{3}$ si conclude che il punto x = 3 è un punto di discontinuità di terza specie o eliminabile.
Calcoliamo il limite in x = 0:
\[ \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x^{2}-7x+12}{x^{2}-3x}=\frac{12}{0}\to \infty \]
e allora possiamo concludere che x = 0 è un punto di infinito ossia in x = 0 vi è una discontinuità di seconda specie. A rigore bisogna calcolare in x = 0 il limite destro e sinistro, ma si giunge alla già detta conclusione.