1.- La funzione esponenziale nel campo complesso $\displaystyle f(z)=e^{z}$.
\[e^{z}=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+…+\frac{z^{n}}{n!}+…\]
\[e^{z}=e^{x}\left ( cosy+isen\, y \right ), \, \, \, \, \, \, \, z =x+iy\]
2.- La funzione logaritmo nel campo complesso $\displaystyle f(z)=log\, z$
\[log\, z=log\left | z \right |+i\left ( \theta +2k\pi \right )\]
3.- La funzione potenza nel campo complesso $\displaystyle f(z)=z^{\alpha },\, \, \, \, \, \, \, z,\alpha \in C$.
$\displaystyle z^{\alpha }=e^{\alpha\cdot logz }$
4.- La funzione seno nel campo complesso $\displaystyle f(z)=sen\, z$
\[senz=\frac{z}{1!}-\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{5}}{5!}-…\left ( -1 \right )^{n}\frac{z^{2n+1}}{\left ( 2n+1 \right )!}+…\]
\[sen\, z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\]
5.- La funzione coseno nel campo complesso $\displaystyle f(z)=cos\, z$
\[cosz=1-\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{4}}{4!}-…\left ( -1 \right )^{n}\frac{z^{2n}}{\left ( 2n \right )!}+…\]
\[cos\, z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\]
6.- La funzione tangente (cotangente) nel campo complesso $\displaystyle f(z)=tan\, z$
\[tan\, z=\frac{sen\, z}{cos\, z}=\frac{1}{i}\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{e^{iz}+e^{-iz}}\]
\[cot\, z=\frac{cos\, z}{sen\, z}=i\cdot \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{e^{iz}-e^{-iz}}\]
7.- La funzione seno iperbolico nel campo complesso $\displaystyle f(z)=senh\, z$
\[senh\, z=\frac{z}{1!}+\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{5}}{5!}+…+\frac{z^{2n+1}}{\left ( 2n+1 \right )!}+…\]
\[senh\, z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}\]
8.- La funzione coseno iperbolico nel campo complesso $\displaystyle f(z)=cosh\, z$
\[cosh\, z=1+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{4}}{4!}+…+\frac{z^{2n}}{\left ( 2n \right )!}+…\]
\[cosh\, z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}\]
9.- La funzione tangente iperbolica (cotangente iperbolica) nel campo complesso $\displaystyle f(z)=tanh\, z$
\[tanh\, z=\frac{senh\, z}{cosh\, z}=\frac{e^{z}-e^{-z}}{e^{z}+e^{-z}}\]
\[coth\, z=\frac{cosh\, z}{senh\, z}=\frac{e^{z}+e^{-z}}{e^{z}-e^{-z}}\]
Le funzioni circolari inverse e le funzioni iperboliche inverse in C (in preparazione)
10.- La funzione arcseno nel campo complesso $\displaystyle f(z)=arcsen\, z$:
\[arcsenz=\frac{1}{i}log\left ( iz\pm \sqrt{1-z^{2}} \right )\]
11.- La funzione arccoseno nel campo complesso $\displaystyle f(z)=arccos\, z$:
\[arccosz=\frac{1}{i}log\left ( z\pm i\sqrt{1-z^{2}} \right )\]
12.- La funzione arccotangente nel campo complesso $\displaystyle f(z)=arctan\, z$:
\[arctanz=\frac{1}{2i}log\left ( \frac{1-iz}{1+iz} \right )=\frac{1}{2i}log\left ( \frac{i-z}{i+z} \right )\]
13.- La funzione arccoseno iperbolico nel campo complesso $\displaystyle f(z)=arcsenh\, z$:
\[arcsenh\, z=log\left ( z\pm \sqrt{1+z^{2}} \right )\]
14.- La funzione arccocoseno iperbolico nel campo complesso $\displaystyle f(z)=arccosh\, z$:
\[arccosh\, z=log\left ( z\pm \sqrt{z^{2}-1} \right )\]
15.- La funzione arccotangente iperbolica nel campo complesso $\displaystyle f(z)=arctanh\, z$:
\[arctanh\, z=\frac{1}{2}log\left ( \frac{1+z}{1-z} \right )\]