Data l’equazione $\displaystyle f(x,y)=0$ e sia $\displaystyle y=\varphi (x)$ una funzione che soddisfi all’equazione prima indicata. Allora $\displaystyle y=\varphi (x)$ si dice funzione implicita definita tramite l’equazione $\displaystyle f(x,y)=0$.
Le condizioni che permettono di stabilire se una funzione f(x,y) definisce almeno una funzione implicita sono espresse dal seguente:
Teorema del Dini.- Data una funzione $\displaystyle f(x,y)$ reale definita in un insieme $\displaystyle D\subseteq R^{2}$ e ivi continua, sia inoltre derivabile rispetto ad y nei punti interni di D e sia continua la $\displaystyle f’_{y}\left ( x,y \right )$ nei punti interni di D. Se nel punto $\displaystyle \left ( x_{0},y_{0} \right )$ interno a D la funzione f(x,y) si annulla mentre $\displaystyle f’_{y}\left ( x,y \right )$ non si annulla, cioè se risulta:
$\displaystyle f\left ( x_{0},y_{0} \right )=0,\, \, \, \, f’_{y}\left ( x_{0},y_{0} \right )\neq 0$
allora in un conveniente intorno del punto $\displaystyle x_{0}$ esiste una ed una sola funzione continua $\displaystyle \varphi \left ( x \right )$, tale che $\displaystyle \varphi \left ( x_{0} \right )=y_{0}$ e tale da soddisfare identicamente all’equazione:
$\displaystyle f\left ( x,\varphi \left ( x \right ) \right )=0$.
Se inoltre la funzione f(x,y) ha derivata parziale rispetto ad x continua nei punti interni a D allora la funzione $\displaystyle \varphi \left ( x \right )$ risulta derivabile con derivata continua e si ha:
$\displaystyle \varphi’ \left ( x \right )=-\frac{f’_{x}\left ( x,\varphi \left ( x \right ) \right )}{f’_{y}\left ( x,\varphi \left ( x \right ) \right )}$
scritta anche nella forma:
$\displaystyle f’_{x}\left ( x,\varphi \left ( x \right ) \right )+f’_{y}\left ( x,\varphi \left ( x \right ) \right )\varphi ‘\left ( x \right )=0$.
Se inoltre la funzione f(x,y) ammette derivate seconde continue nei punti interndi a D allora la funzione $\displaystyle \varphi \left ( x \right )$ammette derivata seconda continua e si ha:
$\displaystyle f”_{xx}\left ( x,\varphi \left ( x \right ) \right )+2f”_{xy}\left ( x,\varphi \left ( x \right ) \right )\varphi ‘\left ( x \right )+f”_{yy}\left ( x,\varphi \left ( x \right ) \right )\left [ \varphi ‘\left ( x \right ) \right ]^{2}+f’_{y}\left ( x,\varphi \left ( x \right ) \right )\cdot \varphi ”\left ( x \right )=0$
e
$\displaystyle \varphi ”\left ( x \right )=-\frac{f”_{xx}\left ( f’_{y} \right )^{2}-2f”_{xy}\cdot f’_{x}\cdot f’_{y}+f”_{yy}\cdot \left ( f’_{x} \right )^{2}}{\left ( f’_{y} \right )^{2}}$
con le derivate parziali calcolate nel punto $\displaystyle \left ( x,\varphi \left ( x \right ) \right )$.
Esempio 1.– Calcolare l’unica funzione $\displaystyle y=\varphi \left ( x \right )$ implicita definita dall’equazione $\displaystyle x^{3}+y^{2}-5xy-2=0$ in un intorno di x = 1, ivi continua e derivabile, e soddisfacente alla condizione $\displaystyle \varphi \left ( 1 \right )=2$
Risoluzione
Consideriamo la funzione $\displaystyle f\left ( x,y \right )=x^{3}+y^{2}-5xy-2$
e le sue derivate parziali prime:
$\displaystyle f’_{x}=3x^{2}-5y,\, \, \, f’_{y}=2y-5x$
Inoltre risulta $\displaystyle f\left ( 1,2 \right )=-7,\, \, \, f’_{y}(1,2)=-1\neq 0$.
Pertanto è applicabile il teorema del Dini e l’equazione data definisce una funzione implicita definita in un intorno di x = 1 e ivi continua e derivabile. La sua derivata è:
$\displaystyle \varphi’ \left ( x \right )=-\frac{3x^{2}-5y}{2y-5x}=-\frac{3x^{2}-5\varphi \left ( x \right )}{2\varphi \left ( x \right )-5x}$