Geometria analitica dello spazio

Geometria analitica dello spazio.- In un sistema di riferimento cartesiano dello spazio, indicato con Oxyz, ogni punto P dello spazio è identificato con una terna di numeri (x,y,z) dette le coordiante del punto P: x è l'ascissa, y, l'ordinata e z la quota 

P\left ( x,y,z \right )

Traslazione nello spazio

\left\{\begin{matrix} x= &x'+a \\ y= &y'+b \\ z= & z'+c \end{matrix}\right.

con O' (a, b, c) nel riferimento Oxyz e P ( x', y', z' ) nel riferimento traslato O'x'y'z'.

Traslazione inversa

\left\{\begin{matrix} x'= &x-a \\ y'= &y-b \\ z'= & z-c \end{matrix}\right.

Distanza tra due punti nello spazio

\overline{AB}=\sqrt{\left ( x_{2}-x_{1} \right )^{2}+\left ( y_{2}-y_{1} \right )^{2}+\left ( z_{2}-z_{1} \right )^{2}}

Punto medio di un segmento AB

x_{m}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\, \, y_{m}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2},\, \, z_{m}=\frac{z_{1}+z_{2}}{2}

Baricentro G di un triangolo 

x_{G}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},\, \, y_{G}=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3},\, \, z_{G}=\frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}

Equazione di un piano nello spazio

ax+by+cz+d=0

con a, b, c non contemporaneamente tutti nulli. L'equazione del piano si può scrivere anche nel seguente modo 

xcos\, \alpha +ycos\, \beta +zcos\, \gamma -\delta =0

oppure 

x\rho cos\, \alpha +y\rho cos\, \beta +z\rho cos\, \gamma -\rho \delta =0

con 

a=\rho cos\alpha ,\, b=\rho cos\beta ,\, c=\rho cos\gamma ,\, d=-\rho \delta

\rho =\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}

cos\alpha ,\, cos\beta ,\, cos\gamma ,\,

coseni direttori della retta n normale al piano e 

\delta =d(O,piano)

è la minima distanza del piano dall'origine O.
Esempio 1.- La normale n ad un piano interseca il piano nel punto P(0,3,4), scrivere l'equazione del piano.

Le coordinate del punto P sono proporzionali a 

\delta =d(O,piano)

e dunque 

\delta =\sqrt{0^{2}+3^{2}+4^{2}}=5

 

cos\alpha =\frac{0}{5}=0,cos\beta =\frac{3}{5},cos\gamma =\frac{4}{5}

. Pertanto si ha 

x\cdot 0+y\frac{3}{5}+z\frac{4}{5}-5=0\rightarrow 3y-z-25=0

Esempio 2.- svolto

Coseni direttori del piano ax+by+cz+d=0

cos\, \alpha =\frac{a}{\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

cos\, \beta =\frac{b}{\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

cos\, \gamma =\frac{c}{\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

Piani particolari nello spazio

d=0\rightarrow ax+by+cz=0

piano passante per l'origine O del riferimento;

a=0\rightarrow by+cz+d=0

piano parallelo all'asse x;

b=0\rightarrow ax+cz+d=0

piano parallelo all'asse y;

c=0\rightarrow ax+by+d=0

piano parallelo all'asse z;

a=b=0\rightarrow cz+d=0

piano parallelo al piano xy;

a=c=0\rightarrow by+d=0

piano parallelo al piano xz;

b=c=0\rightarrow ax+d=0

piano parallelo al piano yz;

a=d=0\rightarrow by+cz=0

piano che contiene l'asse x;

b=d=0\rightarrow ax+cz=0

piano che contiene l'asse y;

c=d=0\rightarrow ax+by=0

piano che contiene l'asse z.
Equazione segmetaria del piano

\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}=1

Esempio 3.- Determinare l'equazione del piano passante per i punti A(-3,0,0), B(0,-1,0) e C(0,0,2).
Si ha 

\frac{x}{-3}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{2}=1\rightarrow -2x-6y+3z=6\rightarrow 2x+6y-3z+6=0

Angolo tra due piani

cos\, \alpha =\left | \frac{aa'+bb'++cc'}{\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})\cdot (a'^{2}+b'^{2}+c'^{2})}} \right |,\, \, \, \alpha \leq 90^{\circ}

Equazione di una retta

\left\{\begin{matrix} ax+by+cz+d &=0\\ a'x+b'y+c'z+d' &=0 \end{matrix}\right.

una retta è l'intersezione tra due piani.
Equazioni degli assi coordinati

\left\{\begin{matrix} y & =0\\ z & =0 \end{matrix}\right. \rightarrow asse\, x;\, \, \left\{\begin{matrix} x & =0\\ y & =0 \end{matrix}\right.\rightarrow asse\, z;\, \left\{\begin{matrix} x& =0\\ z& =0 \end{matrix}\right.\, \rightarrow asse\, y

Retta passante per due punti

\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}

P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})

P_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})

Esempio 4 .- Determinare l'equazione della retta passante per i due punti 

A\left ( -1,1,2 \right ),\, B(0,2,3)

Si ha:

\frac{x+1}{0+1}=\frac{y-1}{2-1}=\frac{z-2}{3-2}\rightarrow \frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{1}\rightarrow x+1=y-1=z-2\rightarrow \left\{\begin{matrix} x+1 &=y-1 \\ x+1&=z-2 \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} x-y+2 &=0 \\ x-z+3 & =0 \end{matrix}\right.

Distanza di un punto da un piano

d=\frac{\left | ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})

 

ax+by+cz+d=0

Piano passante per un punto

a\left ( x-x_{0} \right )+b\left ( y-y_{0} \right )+c\left ( z-z_{0} \right )=0

P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})

Piano passante per tre punti
L'equazione del piano passante per tre punti si può ricavare dalla seguente equazione

\begin{vmatrix} x-x_{1} &y-y_{1} &z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} &y_{2}-y_{1} &z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} &y_{3}-y_{1} &z_{2}-z_{1} \end{vmatrix}=0

Piani paralleli e perpendicolari
I piani 

\alpha )\, ax+by+cz+d=0,\, \, \alpha\, ')\, a'x+b'y+c'z+d'=0

sono paralleli se: 

a:a'=b:b'=c:c'

Mentre sono perpendicolari se: 

a\cdot a'+b\cdot b'+c\cdot c'=0

Esempio 5.- Determinare l'equazione della retta passante per il punto P(0, -1, 2) e perpendicolare al piano 3x+2y-z-1=0
Tenuto conto che a = 3, b = 2, c = -1, si ha:

\frac{x-0}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-1}\rightarrow \frac{x-0}{3}=\frac{y+1}{2}=2-z\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x}{3} &=\frac{y+1}{2} \\ \frac{x}{3} & =2-z \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-3y-3 &=0 \\ x+3z-6 & =0 \end{matrix}\right.

Ricordiamo che l'equazione della retta passante per il punto

P\left ( x_{0},y_{0},z_{0} \right )

e perpendicolare al piano di equazione ax+by+cz+d=0 ha equazione 

\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}

Equazione della sfera

\left ( x-x_{0} \right )^{2}+\left ( y-y_{0} \right )^{2}+\left ( z-z_{0} \right )^{2}=r^{2}

r è il raggio e con centro 

C(x_{0},y_{0},z_{0})

Equazione dell'ellissoide di centro l'origine O del riferimento

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

Equazione dell'iperboloide ad una falda con semiassi reali a e b, c semiasse immaginario

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

Equazione dell'iperboloide a due falde con semiasse reale c, a e b semiassi immaginari

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1

Paraboloide ellittico

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=2z

Paraboloide iperbolico

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=2z

Cono

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=0

Cilindro ellittico

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

Cilindro iperbolico

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

Cilindro parabolico

y^{2}=2px

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