Geometria analitica dello spazio

Geometria analitica dello spazio.- In un sistema di riferimento cartesiano dello spazio, indicato con Oxyz, ogni punto P dello spazio è identificato con una terna di numeri (x,y,z) dette le coordiante del punto P: x è l’ascissa, y, l’ordinata e z la quota \[P\left ( x,y,z \right )\]

Traslazione nello spazio

\[\left\{\begin{matrix} x= &x’+a \\ y= &y’+b \\ z= & z’+c \end{matrix}\right.\]

con O’ (a, b, c) nel riferimento Oxyz e P ( x’, y’, z’ ) nel riferimento traslato O’x’y’z’.

Traslazione inversa

\[\left\{\begin{matrix} x’= &x-a \\ y’= &y-b \\ z’= & z-c \end{matrix}\right.\]
Distanza tra due punti nello spazio
\[\overline{AB}=\sqrt{\left ( x_{2}-x_{1} \right )^{2}+\left ( y_{2}-y_{1} \right )^{2}+\left ( z_{2}-z_{1} \right )^{2}}\]
Punto medio di un segmento AB
\[x_{m}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\, \, y_{m}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2},\, \, z_{m}=\frac{z_{1}+z_{2}}{2}\]
Baricentro G di un triangolo 
\[x_{G}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},\, \, y_{G}=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3},\, \, z_{G}=\frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}\]
Equazione di un piano nello spazio
\[ax+by+cz+d=0\]

con a, b, c non contemporaneamente tutti nulli. L’equazione del piano si può scrivere anche nel seguente modo \[xcos\, \alpha +ycos\, \beta +zcos\, \gamma -\delta =0\] oppure \[x\rho cos\, \alpha +y\rho cos\, \beta +z\rho cos\, \gamma -\rho \delta =0\]

con \[a=\rho cos\alpha ,\, b=\rho cos\beta ,\, c=\rho cos\gamma ,\, d=-\rho \delta\]
\[\rho =\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\]
e \[cos\alpha ,\, cos\beta ,\, cos\gamma ,\, \] coseni direttori della retta n normale al piano e \[\delta =d(O,piano)\] è la minima distanza del piano dall’origine O.
Esempio 1.- La normale n ad un piano interseca il piano nel punto P(0,3,4), scrivere l’equazione del piano.

Le coordinate del punto P sono proporzionali a \[\delta =d(O,piano)\] e dunque \[\delta =\sqrt{0^{2}+3^{2}+4^{2}}=5\] \[cos\alpha =\frac{0}{5}=0,cos\beta =\frac{3}{5},cos\gamma =\frac{4}{5}\]. Pertanto si ha \[x\cdot 0+y\frac{3}{5}+z\frac{4}{5}-5=0\rightarrow 3y-z-25=0\]

Esempio 2.- svolto

Coseni direttori del piano ax+by+cz+d=0
\[cos\, \alpha =\frac{a}{\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\]
\[cos\, \beta =\frac{b}{\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\]
\[cos\, \gamma =\frac{c}{\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\]
Piani particolari nello spazio
\[d=0\rightarrow ax+by+cz=0\]
piano passante per l’origine O del riferimento;
\[a=0\rightarrow by+cz+d=0\]
piano parallelo all’asse x;
\[b=0\rightarrow ax+cz+d=0\]
piano parallelo all’asse y;
\[c=0\rightarrow ax+by+d=0\]
piano parallelo all’asse z;
\[a=b=0\rightarrow cz+d=0\]
piano parallelo al piano xy;
\[a=c=0\rightarrow by+d=0\]
piano parallelo al piano xz;
\[b=c=0\rightarrow ax+d=0\]
piano parallelo al piano yz;
\[a=d=0\rightarrow by+cz=0\]
piano che contiene l’asse x;
\[b=d=0\rightarrow ax+cz=0\]
piano che contiene l’asse y;
\[c=d=0\rightarrow ax+by=0\]
piano che contiene l’asse z.
Equazione segmetaria del piano
\[\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}=1\]
Esempio 3.- Determinare l’equazione del piano passante per i punti A(-3,0,0), B(0,-1,0) e C(0,0,2).
Si ha \[\frac{x}{-3}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{2}=1\rightarrow -2x-6y+3z=6\rightarrow 2x+6y-3z+6=0\]
Angolo tra due piani
\[cos\, \alpha =\left | \frac{aa’+bb’++cc’}{\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})\cdot (a’^{2}+b’^{2}+c’^{2})}} \right |,\, \, \, \alpha \leq 90^{\circ}\]
Equazione di una retta
\[\left\{\begin{matrix} ax+by+cz+d &=0\\ a’x+b’y+c’z+d’ &=0 \end{matrix}\right.\]
una retta è l’intersezione tra due piani.
Equazioni degli assi coordinati
\[\left\{\begin{matrix} y & =0\\ z & =0 \end{matrix}\right. \rightarrow asse\, x;\, \, \left\{\begin{matrix} x & =0\\ y & =0 \end{matrix}\right.\rightarrow asse\, z;\, \left\{\begin{matrix} x& =0\\ z& =0 \end{matrix}\right.\, \rightarrow asse\, y\]
Retta passante per due punti
\[\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}\]
\[P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})\]\[P_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})\]
Esempio 4 .- Determinare l’equazione della retta passante per i due punti \[A\left ( -1,1,2 \right ),\, B(0,2,3)\]
Si ha: \[\frac{x+1}{0+1}=\frac{y-1}{2-1}=\frac{z-2}{3-2}\rightarrow \frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{1}\rightarrow x+1=y-1=z-2\rightarrow \left\{\begin{matrix} x+1 &=y-1 \\ x+1&=z-2 \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} x-y+2 &=0 \\ x-z+3 & =0 \end{matrix}\right.\]
Distanza di un punto da un piano
\[d=\frac{\left | ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\]
\[P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})\] \[ax+by+cz+d=0\]
Piano passante per un punto
\[a\left ( x-x_{0} \right )+b\left ( y-y_{0} \right )+c\left ( z-z_{0} \right )=0\]
\[P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})\]
Piano passante per tre punti
L’equazione del piano passante per tre punti si può ricavare dalla seguente equazione
\[\begin{vmatrix} x-x_{1} &y-y_{1} &z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} &y_{2}-y_{1} &z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} &y_{3}-y_{1} &z_{2}-z_{1} \end{vmatrix}=0\]
Piani paralleli e perpendicolari
I piani \[\alpha )\, ax+by+cz+d=0,\, \, \alpha\, ‘)\, a’x+b’y+c’z+d’=0\]
sono paralleli se: \[a:a’=b:b’=c:c’\]
Mentre sono perpendicolari se: \[a\cdot a’+b\cdot b’+c\cdot c’=0\]
Esempio 5.- Determinare l’equazione della retta passante per il punto P(0, -1, 2) e perpendicolare al piano 3x+2y-z-1=0
Tenuto conto che a = 3, b = 2, c = -1, si ha:
\[\frac{x-0}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-1}\rightarrow \frac{x-0}{3}=\frac{y+1}{2}=2-z\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x}{3} &=\frac{y+1}{2} \\ \frac{x}{3} & =2-z \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-3y-3 &=0 \\ x+3z-6 & =0 \end{matrix}\right.\]
Ricordiamo che l’equazione della retta passante per il punto \[P\left ( x_{0},y_{0},z_{0} \right )\] e perpendicolare al piano di equazione ax+by+cz+d=0 ha equazione \[\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}\]
Equazione della sfera
\[\left ( x-x_{0} \right )^{2}+\left ( y-y_{0} \right )^{2}+\left ( z-z_{0} \right )^{2}=r^{2}\]
r è il raggio e con centro \[C(x_{0},y_{0},z_{0})\]
Equazione dell’ellissoide di centro l’origine O del riferimento
\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\]
Equazione dell’iperboloide ad una falda con semiassi reali a e b, c semiasse immaginario
\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\]
Equazione dell’iperboloide a due falde con semiasse reale c, a e b semiassi immaginari
\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1\]
Paraboloide ellittico
\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=2z\]
Paraboloide iperbolico
\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=2z\]
Cono
\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=0\]
Cilindro ellittico
\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]
Cilindro iperbolico
\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]
Cilindro parabolico
\[y^{2}=2px\]
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