Sia $\displaystyle \left ( S,\perp \right )$ una struttura algebrica \[\perp :\, S\times S\rightarrow S\]
La struttura algebrica $\displaystyle \left ( S,\perp \right )$ si dice un gruppo se sono verificate le seguenti proprietà:
1) l’operazione interna $\displaystyle \perp$ è associativa:
2) esiste l’elemento neutro e rispetto all’operazione $\displaystyle \perp$ per ogni elemento x di S:
3) ogni elemento x di S ammette il simmetrico x’:
.
NOTA
Se $\displaystyle \perp$ è anche commutativa:
il gruppo si dice commutativo o abeliano.
AVVERTENZA
Notiamo che se in luogo dell’operazione $\displaystyle \perp$ si usa l’operazione + si dice che è stata adottata la notazione additiva e in tal caso l’elemento neutro si indica con 0 (zero) e il simmetrico di x con – x (detto opposto); mentre se si usa l’operazione $\displaystyle \times$ l’elemento neutro si indica con 1 (unità) e il simmetrico di x si indica con $\displaystyle x^{-1}$ o con $\displaystyle \frac{1}{x}$ (detto inverso o reciproco).