Guadagno massimo

Esempio 1.- La funzione \[y=-0,08x^{2}+20x-40\]
rappresenta un guadagno. Trovare per quale valori di x non si è in perdita e per quale valore di x si ottiene il massimo guadagno; determinare inoltre il massimo guadagno.

Risoluzione

Valori per i quali non si è in perdita
Per determinare i valori di x per i quali non si è in perdita bisogna determinare i valori di x per i quali la parabola è situata non al di sotto dell’asse x, ovvero i punti x per i quali y è non negativa.
Si può dunque risolvere la disequazione \[-0,08x^{2}+20x-40\geq 0\] oppure calcolare soltanto le ascisse dei punti d’intersezione della parabola con l’asse x risolvendo il sistema:

\[\left\{\begin{matrix} y &=-0,08x^{2}+20x-40 \\ y=0 & \end{matrix}\right.\]

Pertanto si trova che non si è in perdita se \[2,002\leq x\leq 2497,98\]

Calcolo del guadagno
1° Modo. La funzione che rappresenta il guadagno è una parabola con la concavità rivolta
nella direzione negativa dell’asse y ( a = – 0,008 < 0) e dunque il valore massimo si ottiene
per x uguale all’ascissa del vertice della parabola e il massimo guadagno si ottiene in corrispondenza dell’ordinata del vertice, pertanto bisogna calcolare le coordinate del vertice della parabola y = ax^2 + bx + c:

\[V\left ( -\frac{b}{2a},\frac{\Delta }{4a} \right )\]

con \[\Delta =b^{2}-4ac\]
Nel nostro caso a = – 0,008, b = 20, c = -40 e quindi l’ascissa del vertice è: \[x_{v}=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2\left ( -0,008 \right )}=\frac{20}{0,016}=1250\]

Quindi il guadagno è massimo per x = 1250
Il guadagno massimo, ottenuto per x = 1250, si può dunque calcolare o sostituendo
x = 1250 nell’equazione della parabola o calcolando l”ordinata del vertice. Si ha: \[y_{v}=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{\left ( 20^{2}-4(0,008)(-40)) \right )}{4(-0,008)}=-\frac{(400-1,28)}{-0,032}=12460\]

… se vuoi puoi sostituire 1250 al posto di x nella parabola…. e ottenere… sempre 12460!

2° Modo.- Per gli studenti che conoscono l’Analisi Matematica.
Il punto di massimo della funzione si ottiene annullando la derivata prima. Si ha:\[y’=2(0,008)x-20\] da cui richiedendo che la derivata prima si annulli si ha l’equazione:

\[y’=0\Rightarrow 2(0,008)x-20=0\Rightarrow x=\frac{20}{0,016}=1250\]

Il guadagno è dunque massimo per x = 1250 e il massimo guadagno si ottiene sostituendo
nell’equazione della parabola 1250 al posto di x. Si ha:\[y\left ( 1250 \right )=-0,008\left ( 1250^{2} \right )+20(1250)-40=…=12460\]