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I numeri irrazionali

Radical 2, $\displaystyle \sqrt{2}$, e pi greco, $\displaystyle \pi$, due numeri non proprio dello stesso tipo, pur essendo due numeri “strani”, irrazionali, ma non folli, ne conosciamo le approssimazioni alla seconda cifra decimale già dalle scuole medie, il primo 1,41 e il secondo 3,14… ma le approssimazioni si possono migliorare quanto si vuole, ma non è possibile scriverli come rapporto di due frazioni, pur essendo infiniti i numeri frazionari. Non è possibile scrivere:

$\displaystyle \pi= \frac{n}{m},\, \, \, \, \sqrt{2}=\frac{p}{q}$

con n, m, p, q numeri naturali, m e q non nulli. Pur essendo i numeri naturali infiniti non ne riusciremo mai a trovare due tali che il loro rapporto sia $\displaystyle \sqrt{2}$ o $\displaystyle \pi$. Immaginiamo che sia possibile trovare due numeri p e q, il cui massimo comune denominatore sia 1, tali che:

$\displaystyle \sqrt{2}=\frac{p}{q}$

allora si avrebbe

$\displaystyle 2=\frac{p^{2}}{q^{2}}\, \, \Rightarrow\, \, p^{2}=2q^{2}$

cioè $\displaystyle p^{2}$ è pari e allora anche $\displaystyle 2q^{2}$ è pari, e se tali due numeri sono pari sono pari anche p e q, il che però è assurdo visto che il loro massimo comune denominatore è 1, per ipotesi. Dunque è impossibile scrivere radical 2 come rapporto di numeri interi, il che significa che il numero non è razionale, dunque irrazionale. Più difficile è dimostrare che $\displaystyle \pi$ è irrazionale, e il primo a farlo è stato Lambert nel 1761

Il primo, $\displaystyle \sqrt{2}$, fece “impazzire” Pitagora e tutti i pitagorici, il secondo esultare Archimede, sono due numeri geometrici per così dire: il primo è definito come la misura della diagonale di un quadrato di lato 1, il secondo come il rapporto fisso tra ogni circonferenza e il suo diametro:

$\displaystyle \sqrt{2}=\sqrt{1^{2}+1^{2}},\, \, \, \, \pi =\frac{C}{2r}$

Sembra tutto incredibile… ma non finisce qui, $\displaystyle \pi$ è irrazionale ma trascendente, anche se non crede in Dio, mentre $\displaystyle \sqrt{2}$ invece è algebrico. Ad esempio radical 2 è soluzione di un’equazione algebrica a coefficienti interi $\displaystyle x^{2}-2=0\, \, \Rightarrow \, \, x=\pm \sqrt{2}$, mentre invece $\displaystyle \pi$ non è mai soluzione di una tale equazione algebrica. Arrivare a dimostrare che $\displaystyle \pi$ è irrazionale trascendente non è stato facile ed infatti si è dovuto aspettare il 1882, dopo la dimostrazione che il numero irrazionale $\displaystyle e$, base dei logaritmi naturali, era trascendente ad opera di Hermite. Sono matti questi numeri irrazionali? A volte sono algebrici altre volte sono trascendenti Ma si, si penserà, sono delle eccezioni, due o tre eccezioni, possiamo dimenticarle e buonanotte! E invece non va bene nemmeno questo… i nostri tre irrazionali non sono eccezioni, tutt’altro, stanno in ottima compagnia, anzi sono talmente tanti…sono infiniti, ma infiniti infiniti… di più di tutti gli infiniti numeri naturali.

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