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Infinitesimi ed infiniti

Infinitesimi ed infiniti

a) Definizioni e confronto di infinitesimi.- Si dice che una funzione f(x) è un infinitesimo in c se:

\[\lim_{x\rightarrow c}f(x)=0\]

Si dice che gli infinitesimi in c,  f(x) e h(x), sono dello stesso ordine, e si scrive  \[\begin{matrix} ord\, f(x)=ord\, h(x) \\ x\rightarrow c \end{matrix}\]

se: \[\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{h(x)}=l\neq 0\]
Utilizzando la notazione di Landau si può scrivere anche \[f=o_{c}(h)\]  che si legge “ f è un o piccolo di h in c ”. In particolare se risulta l = 1 gli infinitesimi si dicono equivalenti in c, e si scrive: \[f(x)\equiv h(x)\]

Se \[\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{h(x)}= 0\] si dice che l’infinitesimo f(x) è un infinitesimo d’ordine superiore rispetto all’infinitesimo h(x);

Se \[\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{h(x)}=\pm \infty\]si dice che l’infinitesimo f(x) è un infinitesimo d’ordine inferiore rispetto all’infinitesimo h(x).
In questi tre casi gli infinitesimi si dicono confrontabili.

Se il limite \[\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{h(x)}\]
non esise si dice che gli infinitesimi non sono confrontabili

Ordine e parte principale di un infintesimo: se f(x) e g(x) sono due infinitesimi in c e se esiste un numero reale p >0 tale che \[\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{[g(x)]^{p}}=l\neq 0\] si dice che f(x) è un infinitesimo di ordine p rispetto all’infinitesimo campione g(x).
In genere cone infinitesimo campione si prende: \[g(x)=x\,\, se\, x \rightarrow 0;\, \, g(x)=\frac{1}{x}\, se\, x\rightarrow \infty ;\, g(x)=x-c\, \, se\, x\rightarrow c\] In alcuni casi, può convenire prendere come infinito campione g(x) = c – x anche se x tende a c solo da destra o da sinistra.

Si ha:\[f(x)=l\cdot \left [ g(x) \right ]^{p}+r(x)\] e\[l\cdot \left [ g(x) \right ]^{p}\] si dice la parte principale e r(x) la parte complementare, la parte principale è un infinitesimo di ordine p e la parte complementare è un infinitesimo di ordine superiore a p, cioè di ordine superiore a f(x).
Si può anche scrivere: \[f(x)=l\cdot \left [ g(x) \right ]^{p}+o(g(x)\, ^{p})\] ove \[o(g(x)\, ^{p})\]
è un o piccolo di \[g(x)\, ^{p}\] (notazione di Landau).

Esempi svolti

b) Definizione e confronto tra infiniti.-

Si dice che f(x) è un infinito in c se

\[\lim_{x\rightarrow c}f\left ( x \right )=\infty\] o \[\lim_{x\rightarrow c}f\left ( x \right )=-\infty\]

Si dice che gli infinit in c,  f(x) e h(x), sono dello stesso ordine, e si scrive  \[\begin{matrix} ord\, f(x)=ord\, h(x) \\ x\rightarrow c \end{matrix}\]

se: \[\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{h(x)}=l\neq 0\]
Utilizzando la notazione di Landau si può scrivere anche \[f=o_{c}(h)\]  che si legge “ f è un o piccolo di h in c ”. In particolare se risulta l = 1 gli infiniti si dicono equivalenti in c, e si scrive: \[f(x)\equiv h(x)\]

Se \[\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{h(x)}= 0\] si dice che infinito f(x) è un infinito d’ordine inferiore rispetto all’infinito h(x).

Se \[\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{h(x)}=\pm \infty\]
si dice che f(x) è un infinito d’ordine superiore rispetto ad h(x).

In questi tre casi gli infiniti si dicono confrontabili, mentre se il limite \[\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{h(x)}\]
non esiste non sono confrontabili

Nota.- Naturalmente se f(x) è un infinitesimo in c e se \[f(x)\neq 0\] intorno a c allora 1/ f(x) è un infinito in c e viceversa.

Ordine e parte principale di un infinito: se f(x) e g(x) sono due infiniti in c e se esiste un numero reale p >0 tale che \[\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{[g(x)]^{p}}=l\neq 0\] si dice che f(x) è un infinito di ordine p rispetto all’infinito campione g(x).
In genere cone infinitesimo campione si prende: \[g(x)=x\, \, se\, x\rightarrow \infty;\, g(x)=\frac{1}{x}\, \, se\, x\rightarrow 0;\, \, g(x)=\frac{1}{x-c}\, se\, x\rightarrow c\]

Si ha:\[f(x)=l\cdot \left [ g(x) \right ]^{p}+r(x)\] e\[l\cdot \left [ g(x) \right ]^{p}\] si dice la parte principale e r(x) la parte complementare, la parte principale è un infinito di ordine p e la parte complementare, se infinito, è un infinito di ordine minore di p, cioè di ordine minore a f(x).

Esempi svolti