Insiemi e operazioni

Insiemi e sottoinsiemi. Il concetto di insieme e di appartenenza di un elemento ad un insieme è primitivo. Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell’alfabeto latino e gli elementi di un insieme con le lettere minuscole dell’alfabeto latino. Per indicare che x è un elemento dell’insieme A si scrive \[x\in A\] mentre per indicare che x non appartiene ad un insieme B si scrive \[x\notin B\]
L’insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e si indica con $\displaystyle \varnothing$ .
Un insieme si dice finito (cardinalità finita) se ha un numero finito di elementi, mentre se ne ha infiniti si dice infinito.
Si dice sottoinsieme (o parte) di un insieme A un qualsiasi insieme B i cui elementi appartengono tutti ad A e si indica con il simbolo $\displaystyle B\subseteq A$ 

Due insiemi A e B sono uguali se e solo se:

$\displaystyle B\subseteq A \, \, e\, \, A\subseteq B$

Gli insiemi A e $\displaystyle \varnothing$ si dicono sottoinsiemi impropri di A, gli altri propri.

Operazioni

Intersezione tra due insiemi A e B.- 

\[A\cap B=\left \{ x:\, \, \, x\in A\, e\, x\in B \right \}\]

Unione tra due insiemi A e B.-

\[A\cup B=\left \{ x:\, \, \, x\in A\, o\, x\in B \right \}\]

Differenza tra due insiemi A e B.-

\[A- B=\left \{ x:\, \, \, x\in A\, e\, x\notin B \right \}\]

Se B è incluso in A, la differenza A – B si dice complemento di B rispetto ad A e si indica con il simbolo: $\displaystyle C_{A}B$. Se U indica l’insieme universo allora la differenza U – A si può indicare con $\displaystyle \overline{A}$. 

Proprietà delle operazioni insiemistiche

Esempio 1.1- Dati i due insiemi A ={ 1, p, c, d } e B ={ 1, a, e, f, p }, determinare gli insiemi \[A\cap B,\, \, A\cup B,\, \, \, A-B\]

Risoluzione

Tenuto conto della definizione di intersezione tra due insieme si ha:

\[A\cap B=\left \{ 1,p \right \}\]

mentre per il significato di unione tra insiemi si ha:

\[A\cup B=\left \{ 1,p,c,d,a,e,f \right \}\]

L’insieme differenza è invece:

\[A- B=\left \{ c,d \right \}\]

Ricordiamo che $\displaystyle A- B\neq B-A$:

\[B- A=\left \{ a,e, f \right \}\]

 

Esempio 1.2- Dati i due insiemi \[A=\left \{ x:x\in N\, \, e\, \, \, 0<x<7 \right \},\, \, \, B=\left \{ x:x\in N\, \, e\, \, 5<x<12 \right \}\]
determinare gli insiemi \[A\cap B,\, \, A\cup B,\, \, \, A-B, B-A\]

 

Proprietà delle operazioni insiemistiche

Intersezione

$\displaystyle A\cap A=A$    ( proprietà iterativa )

$\displaystyle A\cap B=B\cap A$    ( proprietà commutativa )

$\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap \left ( B\cap C \right )$    ( proprietà asscociativa )

Unione

$\displaystyle A\cup A= A$  ( proprietà iterativa )

$\displaystyle A\cup B= B\cup A$  ( proprietà commutativa )

$\displaystyle (A\cup B)\cup C= A\cup \left ( B\cup C \right )$  ( proprietà asscociativa )

Differenza

$\displaystyle A-A=\varnothing$

$\displaystyle A- B\neq B-A$