L’insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e si indica con $\displaystyle \varnothing$ .
Un insieme si dice finito (cardinalità finita) se ha un numero finito di elementi, mentre se ne ha infiniti si dice infinito.
Si dice sottoinsieme (o parte) di un insieme A un qualsiasi insieme B i cui elementi appartengono tutti ad A e si indica con il simbolo $\displaystyle B\subseteq A$
Due insiemi A e B sono uguali se e solo se:
$\displaystyle B\subseteq A \, \, e\, \, A\subseteq B$
Gli insiemi A e $\displaystyle \varnothing$ si dicono sottoinsiemi impropri di A, gli altri propri.
Operazioni
Intersezione tra due insiemi A e B.-
\[A\cap B=\left \{ x:\, \, \, x\in A\, e\, x\in B \right \}\]
Unione tra due insiemi A e B.-
\[A\cup B=\left \{ x:\, \, \, x\in A\, o\, x\in B \right \}\]
Differenza tra due insiemi A e B.-
\[A- B=\left \{ x:\, \, \, x\in A\, e\, x\notin B \right \}\]
Se B è incluso in A, la differenza A – B si dice complemento di B rispetto ad A e si indica con il simbolo: $\displaystyle C_{A}B$. Se U indica l’insieme universo allora la differenza U – A si può indicare con $\displaystyle \overline{A}$.
Proprietà delle operazioni insiemistiche
Esempio 1.1- Dati i due insiemi A ={ 1, p, c, d } e B ={ 1, a, e, f, p }, determinare gli insiemi \[A\cap B,\, \, A\cup B,\, \, \, A-B\]
Risoluzione
Tenuto conto della definizione di intersezione tra due insieme si ha:
\[A\cap B=\left \{ 1,p \right \}\]
mentre per il significato di unione tra insiemi si ha:
\[A\cup B=\left \{ 1,p,c,d,a,e,f \right \}\]
L’insieme differenza è invece:
\[A- B=\left \{ c,d \right \}\]
Ricordiamo che $\displaystyle A- B\neq B-A$:
\[B- A=\left \{ a,e, f \right \}\]
Esempio 1.2- Dati i due insiemi \[A=\left \{ x:x\in N\, \, e\, \, \, 0<x<7 \right \},\, \, \, B=\left \{ x:x\in N\, \, e\, \, 5<x<12 \right \}\]
determinare gli insiemi \[A\cap B,\, \, A\cup B,\, \, \, A-B, B-A\]
Proprietà delle operazioni insiemistiche
Intersezione
$\displaystyle A\cap A=A$ ( proprietà iterativa )
$\displaystyle A\cap B=B\cap A$ ( proprietà commutativa )
$\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap \left ( B\cap C \right )$ ( proprietà asscociativa )
Unione
$\displaystyle A\cup A= A$ ( proprietà iterativa )
$\displaystyle A\cup B= B\cup A$ ( proprietà commutativa )
$\displaystyle (A\cup B)\cup C= A\cup \left ( B\cup C \right )$ ( proprietà asscociativa )
Differenza
$\displaystyle A-A=\varnothing$
$\displaystyle A- B\neq B-A$