Integrale indefinito di tangente al cubo di x

Vogliamo calcolare l'integrale indefinito di tangente al cubo di x,ossia:

\int tan^{3}xdx

Scriviamo l'integrale nel seguente modo 

\int tan^{2}x\cdot tanx\, dx

aggiungiamo e togliamo 1 a

tan^{2}x

e otteniamo: 

\int (tan^{2}x+1-1)\cdot tanx\, dx

Quindi decomponiamo in due integrali: 

\int [(tan^{2}x+1)\cdot tanx-tanx]\, dx=\int (tan^{2}x+1)tanxdx-\int tanxdx

da cui, tenuto conto che 

\int (tan^{2}x+1)\cdot tanx\, dx=\frac{1}{2}tan^{2}x

e

\int tanxdx=\int \frac{senx}{cosx}dx=-ln\left | cosx \right |

si ha: 

\int tan^{3}xdx=\frac{1}{2}tan^{2}x+ln\left | cosx \right |+c


Ricordiamo:

\int tan^{k}xdx=\frac{1}{k-1}tan^{k-1}x+\int tan^{-2+k}x\, dx


 

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