Integrale indefinito di tangente al cubo di x

Vogliamo calcolare l’integrale indefinito di tangente al cubo di x,ossia: \[\int tan^{3}xdx\] Scriviamo l’integrale nel seguente modo \[\int tan^{2}x\cdot tanx\, dx\] aggiungiamo e togliamo 1 a \[tan^{2}x\]e otteniamo: \[\int (tan^{2}x+1-1)\cdot tanx\, dx\] Quindi decomponiamo in due integrali: \[\int [(tan^{2}x+1)\cdot tanx-tanx]\, dx=\int (tan^{2}x+1)tanxdx-\int tanxdx\] da cui, tenuto conto che \[\int (tan^{2}x+1)\cdot tanx\, dx=\frac{1}{2}tan^{2}x\] e \[\int tanxdx=\int \frac{senx}{cosx}dx=-ln\left | cosx \right |\] si ha: \[\int tan^{3}xdx=\frac{1}{2}tan^{2}x+ln\left | cosx \right |+c\]
Ricordiamo: \[\int tan^{k}xdx=\frac{1}{k-1}tan^{k-1}x+\int tan^{-2+k}x\, dx\]

 

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