9.7 – 6.3 Integrali notevoli di una funzione razionale fratta
6.1 – 6.2 – 6.3 = 9.7
In questa pagina vogliamo mostrare come si calcolano due particolari integrali di una funzione razionale fratta, relativi al caso in cui il denominatore contenga come fattori almeno un trinomio di secondo grado a delta negativo con radici complesse multiple.
A tale scopo impariamo a calcolare i seguenti due integrali: \[\int\frac{dx}{(1+x^{2})^{n}},\, \, \, \int\frac{dx}{(\alpha x^{2}+\beta x+\gamma )^{n}}, \, \, con\, \Delta =\beta^{2} -4\cdot \alpha\cdot \gamma\]
delta negativo.
Esempio 1.- Calcolare il seguente integrale \[\int \frac{1}{\left ( x^{2}+1 \right )^{2}}dx\]
L’integrale si può calcolare per parti o per sostituzione. Nel caso si voglia integrare per parti bisogna seguire una particolare procedura che consiste nell’integrare per parti il seguente integrale
\[\int \frac{1}{\left ( x^{2}+1 \right )}dx\]
con esponente al denominatore diminuito di uno. Integriamo per parti \[\int \frac{1}{\left ( x^{2}+1 \right )}dx\] scegliendo dx come fattore differenziale e la frazione integranda come fattore finito: \[\frac{1}{\left ( 1+x^{2} \right )}\]
da cui si ricava l’uguaglianza:
\[2\int \frac{1}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}dx=\frac{x}{\left ( x^{2}+1 \right )^{2}}+\int \frac{1}{1+x^{2}}dx\] ossia
\[\int \frac{1}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{1+x^{2}}+\frac{1}{2}\cdot \int \frac{1}{1+x^{2}}dx=\frac{x}{2\left ( 1+x^{2} \right )}+\frac{1}{2}arctan(\, x)+c\]
Notiamo che ragionando in generale si può stabilire la seguente formula di riduzione \[\int \frac{1}{\left ( 1+x^{2} \right )^{n+1}}dx=\frac{x}{2n\left ( 1+x^{2} \right )^{n}}+\frac{2n-1}{2n}\cdot \int \frac{1}{\left ( 1+x^{2} \right )^{n}}dx\] che ci permette di calcolare un integrale di questo tipo di esponente n +1 conoscendo quello con esponente n. Ad esempio per n = 3 si ha \[\int \frac{1}{\left ( 1+x^{2} \right )^{4}}dx=\frac{x}{6\left ( 1+x^{2} \right )^{3}}+\frac{5}{6}\cdot \int \frac{1}{\left ( 1+x^{2} \right )^{3}}dx\]
mentre per n = 2 si ha \[\int \frac{1}{\left ( 1+x^{2} \right )^{3}}dx=\frac{x}{4\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}+\frac{3}{4}\cdot \int \frac{1}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}dx\]
per n = 1 si ha proprio l’integrale calcolato nell’esempio 1.
Integrazione per sostituzione: si può utilizzare la sostituzione x = tan t da cui t = arctan x…
Esempio 2.- Calcolare il seguente integrale \[\int \frac{dx}{\left ( x^{2}+x+1 \right )^{2}}dx\]
Il polinomio in parentesi ha delta negativo, delta = -3, e dunque il denominatore della frazione ha radici complesse multiple. Scriviamo il polinomio x^2 + x + 1 come somma di due quadrati: \[x^{2}+x+1=x^{2}+x+\frac{1}{4}+1-\frac{1}{4}=\left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}\]
Quindi risulta \[\left ( x^{2}+x+1 \right )^{2}=\left [ \left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2} \right ]^{2}\]
L’integrale assegnato si riconduce a quello dell’esempio 1 mediante la sostituzione:\[x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}t\, \, \, \rightarrow\, \, dx=\frac{\sqrt{3}}{2}dt\]
Si ha: \[\int \frac{dx}{\left ( x^{2}+x+1 \right )^2}=\int \frac{dx}{\left [ \left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2} +\frac{\sqrt{3}}{2}\right ]^{2}}=\int \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}dt}{\left [ \left ( \frac{\sqrt{3}}{2}t \right )^{2}+\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2} \right ]^{2}}=\left ( \frac{2}{\sqrt{3}} \right )^{3}\int \frac{dt}{\left ( 1+t^{2} \right )^{2}}\]
Ricordiamo che esiste la seguente formula: \[\int \frac{mx+q}{(x^{2}+bx+c)^{n}}dx=\frac{m}{2\left ( n-1 \right )}\cdot \frac{1}{\left ( x^{2}+bx+c \right )^{n-1}}+\frac{q-\frac{mb}{2}}{k^{2n-1}}\int \frac{dt}{\left ( 1+t^{2} \right )^{n}}\]
con \[x+\frac{b}{2}=kt\]
e per m = 0 e q = 1 si ha: \[\int \frac{dx}{\left ( x^{2}+bx+c \right )}=\frac{1}{k^{2n-1}}\int \frac{dt}{\left ( 1+t^{2} \right )^{n}}\]
Esempio 3.- Calcolare il seguente integrale \[\int \frac{dx}{(x-2)\left ( x-1 \right )^{2}\left ( x^{2}+2x+3 \right )^{2}}\]
Si tratta ovviamente del quarto caso, quindi il polinomio al denominatore della funzione integranda ammette soluzioni reali e complesse multiple:
- x = 2 soluzione reale semplice
- x = 1 soluzione reale doppia
- e due soluzioni complesse coniugate doppie ( trinomio x^2+2x+3, delta <0)
Sai continuare? E’ un po’ lunga la cosa e visto che fino ad ora ho fatto tutto io, forse è il caso che ci provi da solo…
Esempio 4.- Calcolare il seguente integrale