Integrali notevoli di una funzione razionale fratta

In  questa pagina vogliamo mostrare come si calcolano due particolari integrali di una funzione razionale fratta, relativi al caso in cui il denominatore contenga come fattori almeno un trinomio di secondo grado a delta negativo con radici complesse multiple.

A tale scopo impariamo a calcolare i seguenti due integrali: 

\int\frac{dx}{(1+x^{2})^{n}},\, \, \, \int\frac{dx}{(\alpha x^{2}+\beta x+\gamma )^{n}}, \, \, con\, \Delta =\beta^{2} -4\cdot \alpha\cdot \gamma

delta negativo.

Esempio 1.- Calcolare il seguente integrale 

\int \frac{1}{\left ( x^{2}+1 \right )^{2}}dx

L'integrale si può calcolare per parti o per sostituzione.
Integrazione per parti: partiamo dal seguente integrale

\int \frac{1}{1+x^{2}}dx

e integriamo per parti scegliendo dx come fattore differenziale e la frazione integranda come fattore finito:

fattore finito:\, \, \frac{1}{1+x^{2}}

Si ha 

\int \frac{1}{1+x^{2}}dx=\frac{1}{1+x^{2}}\cdot x-\int \frac{-2x^{2}}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}dx=\frac{x}{1+x^{2}}+2\int \frac{x^{2}+1-1}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}dx=\frac{x}{1+x^{2}}+2\int \frac{1+x^{2}}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}dx +2\int \frac{-1}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}dx=\frac{x}{1+x^{2}}+2\int \frac{1}{\left ( 1+x^{2} \right )}dx -2\int \frac{1}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}dx

da cui si ricava l'uguaglianza:

2\int \frac{1}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}dx=\frac{x}{1+x^{2}}+\int \frac{1}{1+x^{2}}dx

ossia

\int \frac{1}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{1+x^{2}}+\frac{1}{2}\cdot \int \frac{1}{1+x^{2}}dx=\frac{x}{2\left ( 1+x^{2} \right )}+\frac{1}{2}arctan\, x+c

Notiamo che esiste la seguente formula di riduzione 

\int \frac{1}{\left ( 1+x^{2} \right )^{n+1}}dx=\frac{x}{2n\left ( 1+x^{2} \right )^{n}}+\frac{2n-1}{2n}\cdot \int \frac{1}{\left ( 1+x^{2} \right )^{n}}dx

che ci permette di calcolare un integrale di questo tipo al variare di n +1 conoscendo quello con esponente n. Ad esempio per n = 3 si ha 

\int \frac{1}{\left ( 1+x^{2} \right )^{4}}dx=\frac{x}{6\left ( 1+x^{2} \right )^{3}}+\frac{5}{6}\cdot \int \frac{1}{\left ( 1+x^{2} \right )^{3}}dx

mentre per n = 2 si ha 

\int \frac{1}{\left ( 1+x^{2} \right )^{3}}dx=\frac{x}{4\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}+\frac{3}{4}\cdot \int \frac{1}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}dx

Integrazione per sostituzione: si può utilizzare la sostituzione x = tan t da cui t = arctan x...

Esempio 2.- Calcolare il seguente integrale 

\int \frac{dx}{\left ( x^{2}+x+1 \right )^{2}}dx

Il polinomio in parentesi  ha delta negativo, delta = -3, e dunque il denominatore della frazione ha radici complesse multiple. Scriviamo il polinomio x^2 + x + 1 come somma di due quadrati:

x^{2}+x+1=x^{2}+x+\frac{1}{4}+1-\frac{1}{4}=\left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}


Quindi risulta 

\left ( x^{2}+x+1 \right )^{2}=\left [ \left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2} \right ]^{2}

L'integrale assegnato si riconduce a quello dell'esempio 1 mediante la sostituzione:

x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}t\, \, \, \rightarrow\, \, dx=\frac{\sqrt{3}}{2}dt


Si ha:

\int \frac{dx}{\left ( x^{2}+x+1 \right )^2}=\int \frac{dx}{\left [ \left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2} +\frac{\sqrt{3}}{2}\right ]^{2}}=\int \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}dt}{\left [ \left ( \frac{\sqrt{3}}{2}t \right )^{2}+\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2} \right ]^{2}}=\left ( \frac{2}{\sqrt{3}} \right )^{3}\int \frac{dt}{\left ( 1+t^{2} \right )^{2}}

Ricordiamo che esiste la seguente formula:

\int \frac{mx+q}{(x^{2}+bx+c)^{n}}dx=\frac{m}{2\left ( n-1 \right )}\cdot \frac{1}{\left ( x^{2}+bx+c \right )^{n-1}}+\frac{q-\frac{mb}{2}}{k^{2n-1}}\int \frac{dt}{\left ( 1+t^{2} \right )^{n}}

con 

x+\frac{b}{2}=kt

e per m = 0 e q = 1 si ha:

\int \frac{dx}{\left ( x^{2}+bx+c \right )}=\frac{1}{k^{2n-1}}\int \frac{dt}{\left ( 1+t^{2} \right )^{n}}

Esempio 3.- Calcolare il seguente integrale 

\int \frac{dx}{(x-2)\left ( x-1 \right )^{2}\left ( x^{2}+2x+3 \right )^{2}}

Si tratta ovviamente del quarto caso, quindi il polinomio al denominatore della funzione integranda ammette soluzioni reali e complesse multiple:

  • x = 2 soluzione reale semplice
  • x = 1 soluzione reale doppia
  • e due soluzioni complesse coniugate doppie ( trinomio x^2+2x+3, delta <0)

Sai continuare? E' un po' lunga la cosa e visto che fino ad ora ho fatto tutto io, forse è il caso che ci provi da solo...

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