\[x^{2}-y^{2}=a^{2}\]
L’eccentricità è costante ed è $\displaystyle e=\sqrt{2}$, gli asintoti sono le rette di equazioni y = x e y = – x. La semidistanza foale è $\displaystyle c=a\sqrt{2}$. I vertici sono gli stessi e il rettangolo di base è un quadrato.
Se i fuochi sono sull’asse y l’equazione dell’iperbole equilatera è $\displaystyle x^{2}-y^{2}=-a^{2}$.
Esempio 1.- Data l’equazione $\displaystyle x^{2}-y^{2}=16$ di una iperbole equilatera determinare il suo centro di simmetria, gli asintoti, i vertici, i fuochi, l’asse trasverso e la distanza focale. Disegnare il grafico dell’iperbole in un piano cartesiano Oxy.
Iperbole equilatera riferita agli asintoti
\[xy=k\]
Se è k > 0 l’iperbole si trova nel I e III quadrante, se è k < 0 si trova nel II e IV quadrante. I vertici sono i punti d’intersezione dell’iperbole con la retta y = x se k > 0 e sono:
\[ A\left ( \sqrt{k},\sqrt{k} \right ),\, \, A’\left ( -\sqrt{k},-\sqrt{k} \right )\]
Mentre se è k < 0 sono i punti d’intersezione tra l’iperbole e la retta y = – x e sono:
\[ A\left (-\sqrt{-k},\sqrt{-k} \right ),\, \, A’\left ( \sqrt{-k},-\sqrt{-k} \right )\]
I fuochi si trovano nel primo caso ( k > 0) sulla retta y = x e sono:
\[ F\left ( \sqrt{2k},\sqrt{2k} \right ),\, \, F’\left ( -\sqrt{2k},-\sqrt{2k} \right )\]
Mentre sulla retta y = -x nel secondo caso ( k < 0) e sono:
\[ F\left (-\sqrt{-2k},\sqrt{-2k} \right ),\, \, F’\left ( \sqrt{-2k},-\sqrt{-2k} \right )\]
Esempio 1.- Data l’equazione $\displaystyle xy=4$ di una iperbole equilatera riferita agli asintoti determinare il suo centro di simmetria, gli asintoti, i vertici, i fuochi, l’asse trasverso e la distanza focale. Disegnare il grafico dell’iperbole in un piano cartesiano Oxy.
Funzione omografica o iperbole equilatera traslata
\[y=\frac{mx+n}{sx+r}\]
con $\displaystyle s\neq 0,mr-sn\neq 0$.
La funzione omografica si ottiene da una traslazione dell’iperbole equilatera riferita agli asintoti. Il suo centro di simmetria è \[O’\left ( -\frac{r}{s},\frac{m}{s} \right )\]
gli asintoti sono: \[x=-\frac{r}{s},\, \, \, y=\frac{m}{s}\]
Se $\displaystyle s=0, r\neq 0$ la funzione omografica è la retta d’equazione $\displaystyle y=\frac{m}{r}x+\frac{n}{r}$; se $\displaystyle mr-sn=0$ la funzione omografica è la retta d’equazione $\displaystyle y=\frac{m}{s}$. Per calcolare i vertici e i fuochi della funzione omografica conviene determinare il valore $\displaystyle h=\frac{sn-mr}{s^{2}}$ e applicare le seguenti formule:
Vertici:
$\displaystyle A\left ( -\frac{r}{s}-\sqrt{h},\, \, \, \frac{m}{s}-\sqrt{h} \right )\, \, \, se\, \, \, h>0$
$\displaystyle A’\left ( -\frac{r}{s}+\sqrt{h},\, \, \, \frac{m}{s}+\sqrt{h} \right )\, \, \, se\, \, \, h>0$
$\displaystyle A\left ( -\frac{r}{s}-\sqrt{\left | h \right |},\, \, \, \frac{m}{s}+\sqrt{\left | h \right |} \right )\, \, \, se\, \, \, h<0$
$\displaystyle A’\left ( -\frac{r}{s}+\sqrt{\left | h \right |},\, \, \, \frac{m}{s}-\sqrt{\left | h \right |} \right )\, \, \, se\, \, \, h<0$
Il semiasse trasverso invece ha lunghezza $\displaystyle L=\sqrt{2\left | h \right |}$ e la semidistanza focale ha lunghezza $\displaystyle L’=2\sqrt{\left | h \right |}$. I fuochi invece hanno coordinate:
$\displaystyle F\left ( -\frac{r}{s}-\sqrt{2h},\, \, \, \frac{m}{s}-\sqrt{2h} \right )\, \, \, se\, \, \, h>0$
$\displaystyle F’\left ( -\frac{r}{s}+\sqrt{2h},\, \, \, \frac{m}{s}+\sqrt{2h} \right )\, \, \, se\, \, \, h>0$
$\displaystyle F\left ( -\frac{r}{s}-\sqrt{2\left | h \right |},\, \, \, \frac{m}{s}+\sqrt{2\left | h \right |} \right )\, \, \, se\, \, \, h<0$
$\displaystyle F’\left ( -\frac{r}{s}+\sqrt{2\left | h \right |},\, \, \, \frac{m}{s}-\sqrt{2\left | h \right |} \right )\, \, \, se\, \, \, h<0$
Esempio 1.- Data l’equazione $\displaystyle y=\frac{3x-9}{x-6}$ di una funzione omografica determinare il suo centro di simmetria, gli asintoti, i vertici, i fuochi, l’asse trasverso e la distanza focale. Disegnare il grafico di tale funzione in un piano cartesiano Oxy.
Risoluzione
Gli asintoti sono le rette x = 6 e y = 3 il centro di simmetria il punto O'(6, 3).
Osservato che m = 3, n = – 9, s = 1, r = – 6 si ha che \[h=\frac{sn-mr}{s^{2}}=\frac{1\cdot \left ( -9 \right )-3\left ( -6 \right )}{\left ( 1 \right )^{2}}=9\] Quindi i vertici sono:
$\displaystyle A=\left ( +6-\sqrt{9},3-\sqrt{9} \right )\rightarrow A\left ( 3,0 \right )$
$\displaystyle A=\left ( +6+\sqrt{9},3+\sqrt{9} \right )\rightarrow A\left ( 9,6 \right )$
I fuochi sono:
$\displaystyle F=\left ( +6-\sqrt{2\cdot 9},3-\sqrt{2\cdot 9} \right )\rightarrow F\left ( 6-3\sqrt{2},3-3\sqrt{2} \right )$
$\displaystyle F’=\left ( +6+\sqrt{2\cdot 9},3+\sqrt{2\cdot 9} \right )\rightarrow F’\left ( 6+3\sqrt{2},3+3\sqrt{2} \right )$
Si ha poi \[L=\sqrt{2\left | 9 \right |}=3\sqrt{2}, \, \, \, \, \, L’=2\sqrt{\left | 9 \right |}=2\cdot 3=6\] quindi la lunghezza dell’asse trasverso è $\displaystyle 2\cdot \left (3\sqrt{2} \right )=6\sqrt{2}$ e la distanza focale è 12.