La funzione integrale e il Teorema di Torricelli Barrow

La funzione integrale e il Teorema di Torricelli Barrow
Data una funzione f(x), continua in [a, b ], consideriamo il suo integrale esteso dall’estremo inferiore a fisso ad un estremo x variabile in [a, b ] (fig. 1):

\int_{a}^{x}f(t)dt

 

funzione_integrale

L’integrale così considerato è funzione del suo estremo superiore x e ciò appare anche più evidente se si ricorre all’interpretazione geometrica per cui esso rappresenta l’area del trapezoide APP’A, il quale ha il lato PP’, corrispondente all’estremo superiore x, variabile al variare di tale estremo.
Ad ogni valore dell’estremo superiore x corrisponde una determinata posizione del lato PP’ e quindi un determinato trapezoide. L’integrale definito che abbiamo considerato si chiama funzione integrale e si indica con F(x), cioè poniamo: 

F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt

Teorema di Torricelli – Barrow o teorema fondamentale del calcolo integrale.
Se la funzione integranda f(x) è continua, la derivata della funzione integrale in un punto x (suo estremo superiore) è uguale al valore che la funzione integranda assume in quello stesso punto, cioè che 

F'(x)=f(x)\, \, \, \forall x\in \left [ a,\, b \right ]

Cioè in altre parole: la funzione integrale F(x) è una primitiva della funzione integranda f(x).

teorema_barrov

Dimostrazione
Per dimostrare il teorema si deve verificare che la derivata di F(x) è f(x), cioè che: 

F'(x)=f(x)\, \, \, \forall x\in \left [ a,\, b \right ]

Calcoliamo quindi la derivata della funzione integrale in base alla definizione di derivata e riferendoci al suo significato geometrico, supponiamo che la f(x) sia tutta al di sopra dell’asse  delle ascisse. Se al generico valore x dell’estremo superiore variabile si dà un incremento h, la funzione integrale F(x) subisce un incremento 

F(x+h)-F(x)

che, se indichiamo con Q il punto del diagramma della f(x) di ascissa x + h, è rappresentato geometricamente da:

    area trapezoide AQQ’A’ -  area trapezoide APP’A’ = area trapezoide PQQ’P’.

E se indichiamo con m e M i valori minimo e massimo della f(x) nell’intervallo [ x, x + h ], è evidente che l’area del trapezoide PQQ’P’ è compresa fra le aree dei rettangoli aventi come misure della base P’Q’ = h e come misura delle altezze rispettivamente m e M . Quindi, se è h > 0 si ha:

m\cdot h< F(x+h)-F(x)< M\cdot h

 

Se invece è h < 0 si ha

m\cdot h> F(x+h)-F(x)> M\cdot h

 

e dividendo per h in entrambi i casi si ha:

m< \frac{F(x+h)-F(x)}{h}< M

Se ora si fa tendere h a zero, x+h tende a x e quindi per la continuità della f(x), sia m che M tendono a f(x). Allora per il teorema del confronto si ha: 

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)

 

cioè  

F'(x)=f(x)\, \, \, \forall x\in \left [ a,\, b \right ]

come volevamo dimostrare.

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