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La prova di matematica della Maturità 2017

La prova di matematica della Maturità 2017 è la seguente:

PROBLEMA 1.- Si può pedalare agevolmente su una bicicletta a ruote quadrate? A New York, al MoMath-Museum of Mathematics si può fare, in uno dei padiglioni dedicati al divertimento matematico (figura 1). È però necessario che il profilo della pedana su cui il lato della ruota può scorrere soddisfi alcuni requisiti. In figura 2 è riportata una rappresentazione della situazione nel piano cartesiano : il quadrato di lato DE = 2 (in opportune unità di misura) e di centro rappresenta la ruota della bicicletta, il grafico della funzione () rappresenta il profilo della pedana

Sulla base delle informazioni ricavabili dal grafico in figura 2, mostra, con le opportune argomentazioni, che la funzione: \[f(x)=\sqrt{2}-\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},\, \, \, \, x\in R\] rappresenta adeguatamente il profilo della pedana per x ∈ [−a ; a ]; determina inoltre il valore degli estremi e a e  – a  dell’intervallo.

Per visualizzare il profilo completo della pedana sulla quale la bicicletta potrà muoversi, si affiancano varie copie del grafico della funzione f(x) relativo all’intervallo [−a ; a ], come mostrato in figura 3.

2) Perché la bicicletta possa procedere agevolmente sulla pedana è necessario che:

  • a sinistra e a destra dei punti di non derivabilità i tratti del grafico siano ortogonali;
  • la lunghezza del lato della ruota quadrata risulti pari alla lunghezza di una “gobba”, cioè dell’arco di curva di equazione y = f(x) per x ∈ [−a ; a ].

Stabilisci se tali condizioni sono verificate.*

3) Considerando la similitudine dei triangoli rettangoli ACL e ALM in figura 4, e ricordando o il significato geometrico della derivata, verifica che il valore dell’ordinata del centro della ruota si mantiene costante durante il moto. Pertanto, al ciclista sembra di muoversi su una superficie piana.

Anche il grafico della funzione: \[f(x)=\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},\, \, \, \, x\in \left [ -\frac{ln3}{2}, \frac{ln3}{2} \right ]\]
se replicato varie volte, può rappresentare il profilo di una pedana adatta a essere percorsa da una bicicletta con ruote molto particolari, aventi la forma di un poligono regolare.

4) Individua tale poligono regolare, motivando la risposta.

Nota *.- In generale, la lunghezza dell’arco di curva avente equazione \[y=\varphi (x)\] compreso tra le ascisse x1 e x2 è data da \[\int_{x_{1}}^{x_{2}}\sqrt{1+\varphi ‘(x)^{2}}dx\]

Testo intero della prova di matematica