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Le potenze

Definizione di potenza nell’insieme dei numeri naturali e razionali positivi. Si dice potenza di base a ed esponente n il prodotto della base a  per se stessa tante volte per quanto indicato dall’esponente n:

\[\begin{matrix} a^{n}=a\cdot a\cdot a\cdot …\cdot a\\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, n-volte \end{matrix}\]

Potenza di una frazione. Se la base a della potenza è una frazione positiva si può dare una definizione di potenza analoga alla precedente e si può utilizzare la seguente proprietà per i calcoli

\[\left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\]

Esempio 1.-

\[3^{5}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=243\]

\[7^{2}=7\cdot 7=49\]

\[\begin{matrix} 2^{123}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot …\cdot 2=…\\ \, \, \, \, \, \, 123-volte \end{matrix}\]

\[\left ( \frac{6}{7} \right )^{8}=\frac{6^{8}}{7^{8}},\, \, \, \, \left ( \frac{1}{23} \right )^{27}=\frac{1^{27}}{23^{27}}=\frac{1}{23^{27}}\]

Osservazione.-  Analoghe regole sussistono se la base della potenza è un numero intero (positivo o negativo), o una frazione positiva o negativa. In breve basta ricordare che bisogna elevare a potenza anche il segno del numero intero o della frazione:

\[\left ( -3 \right )^{4}=+3^{4}=+81,\, \, \left ( -2 \right )^{5}=-2^{5}=-32\]

\[\left ( +4 \right )^{2}=+4^{2}=+16,\, \, \left ( +5 \right )^{3}=+5^{3}=+125\]

\[\left ( -\frac{3}{4} \right )^{2}=+\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}=+\frac{9}{16},\, \, \left ( -\frac{5}{2} \right )^{3}=-\left ( \frac{5}{2} \right )^{3}=-\frac{125}{8}\]

\[\left ( +\frac{1}{4} \right )^{2}=+\left ( \frac{1}{4} \right )^{2}=+\frac{1}{16},\, \, \left ( +\frac{3}{2} \right )^{3}=+\left ( \frac{3}{2} \right )^{3}=+\frac{27}{8}\]

Proprietà delle potenze

\[a^{0}=1,0^{0}\, non\, ha\, senso, a^{1}=a, 0^{n}=0, 1^{n}=1\]

\[a^{-1}=\frac{1}{a},\, \, \, \, a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\]

Proprietà delle potenze con la stessa base

\[a^{n}\cdot a^{p}=a^{n+p},\, \, \, \, a^{n}: a^{p}=a^{n-p},\]

\[\left ( a^{n} \right )^{p}=a^{n\cdot p}\]

Proprietà delle potenze con lo stesso esponente e base diversa

\[a^{n}\cdot b^{n}=\left ( a\cdot b \right )^{n},\, \, \, a^{n}:b^{n}=\left ( a: b \right )^{n}\]

Esempio 2.1.- Semplificare le seguenti espressioni con le potenze:

\[7^{2}\cdot 7^{18}:7\cdot 7^{15},\, \, \, \, 3^{12}:3^{8}\cdot 3^{15}\cdot 3^{1987}\]

\[\left ( 15^{13}\cdot 15^{8} \right )^{6}:15:\left ( 3^{24}\cdot 3^{5}:3^{4} \right )^{25}\]

\[\left ( 162^{413}\cdot 162^{1158} \right )^{6}\cdot 162^{574}:\left ( 6^{243}\cdot 6^{25}:6^{18} \right )^{40}\]

\[\left ( \frac{125}{200} \right )^{342}:\left ( \frac{125}{200} \right )^{142}\cdot \left ( \frac{5}{8} \right )^{50}:\left ( \frac{25}{8} \right )^{250}\]

Esempio 3.1.- Semplificare le seguenti espressioni con le potenze:

\[\left ( -3 \right )^{44}\cdot \left ( -3 \right )^{25}:\left ( -3 \right )^{34}\]

\[\left ( -\frac{2}{3} \right )^{4}\cdot \left ( -\frac{2}{3} \right )^{5}:\left ( -\frac{2}{3} \right )^{6}\]

\[\left ( +\frac{2}{5} \right )^{2}\cdot \left ( -\frac{2}{5} \right )^{3}:\left ( -\frac{2}{5} \right )^{4}\]

\[\left ( -\frac{3}{4} \right )^{-5}\cdot \left (+ \frac{3}{4} \right )^{-2}\]