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Massimi e minimi relativi e assoluti di una funzione

Esempio 1.- Determinare i massimi e minimi relativi della funzione \[y=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{5}{2}x^{2}+6x-2\]

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Esempio 2.- Determinare i massimi e minimi relativi della funzione \[y=x^{3}-\frac{5}{2}x^{2}+2x-1\]

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Esempio 3.- Determinare i massimi e minimi relativi della funzione\[f(x)=\frac{x-1}{x^{2}}\]

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Esempio 4.- Determinare i massimi e minimi relativi della funzione goniometrica \[y=x-cosx+senx\]

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Esempio 5.- Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione $\displaystyle y=x^{3}-x$ nell’intervallo chiuso $\displaystyle \left [ -2,2 \right ]$

Esempio 6.- Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione $y=\sqrt{x^{2}-4}$ nell’intervallo chiuso $\left [ -3,-2 \right ]$

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Esempio 7.- Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione $\displaystyle y=x^{4}-3x^{2}+1$ nell’intervallo chiuso $\displaystyle \left [ -2,2 \right ]$

Esempio 8.- Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione $\displaystyle y=\frac{x+2}{x^{2}-x-2}$ nell’intervallo chiuso $\displaystyle \left [ -5,-3 \right ]$

Esempio 9.- Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione $\displaystyle y=senx+cosx$ nell’intervallo chiuso $\displaystyle \left [ 0,2\pi \right ]$

Esempio 10.- Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione $\displaystyle y=\frac{ln(x+1)}{x}$ nell’intervallo chiuso $\displaystyle \left [ 2,6 \right ]$

Esempio 11.- Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione $\displaystyle f(x)=\frac{e^{x+2}}{x+3}$ nell’intervallo chiuso $\displaystyle \left [ -3,0 \right ]$

Esempio 12.- Determinare i massimi e minimi relativi della funzione $\displaystyle f(x) = -ln\, x-x^{2}+3x-2$ e stabilire se sono anche assoluti.

Risoluzione

Il dominio della funzione è l’intervallo $\displaystyle D=\left ( 0,+\infty \right )$ e la derivata prima della funzione è:

$\displaystyle y’=-\frac{1}{x}-2x+3\rightarrow y’=\frac{-1+2x^{2}+3x}{x}$

Risolvendo la disequazione

$\displaystyle y’\geq 0\rightarrow y’=\frac{-1-2x^{2}+3x}{x}\geq 0\rightarrow 2x^{2}-3x+1\leq 0$

si vede che x = 1/2 è un punto di minimo relativo e x = 1 è un punto di massimo relativo.

Il minimo relativo è \[y\left ( \frac{1}{2} \right )=-ln\frac{1}{2}-\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}+3\left ( \frac{1}{2} \right )-2=ln2-\frac{3}{4}\] e il massimo relativo è y (1) = 0.
Tali valori non sono assoluti, poiché:…