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Massimo e minimo vincolati di funzioni di due variabili

Ora mostriamo il calcolo del massimo e minimo vincolati di funzioni di due variabili.

Esempio 1.- Determinare il minimo  della funzione

\[f\left ( x,y \right )=\frac{1+x^{2}}{1+y^{2}}\]

sapendo che $\displaystyle x+y=1$

Risoluzione

Notiamo che la funzione $\displaystyle f(x,y)$ è definita in $\displaystyle R^{2}$.

Si tratta di un problema di massimo e minimo vincolato, ovvero si vuol ricercare il massimo e il minimo della funzione $\displaystyle f(x,y)$ sulla retta d’equazione

\[x+y=1\]

Pertanto, il problema si può trasformare in un problema di massimo e minimo di una funzione di una sola variabile, ricavando $\displaystyle y=1-x$  e sostituendo nella funzione assegnata. Si  ha:

\[f\left ( x,y \right )=\frac{1+x^{2}}{1+(1-x)^{2}}\]

ossia

\[f\left ( x \right )=\frac{1+x^{2}}{2+x^{2}-2x}\]

da cui calcolando la derivata prima \[f'(x)=\frac{-2\left ( x^{2}-x-1 \right )}{\left ( x^{2}-2x+2 \right )^{2}}\]
e risolvendo poi la disequazione

\[f'(x)>0\]

si vede che bisogna risolvere la disequazione

\[x^{2}-x-1<0\]

con

\[\Delta >0\, \, e\, \, x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\]

Quindi la derivata prima è verificata per \[\frac{1- \sqrt{5}}{2}< x<\frac{1+ \sqrt{5}}{2}\]

e il minimo della funzione si ottiene per \[x=\frac{1- \sqrt{5}}{2}\] ed è \[f\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\].

Naturalmente si può anche calcolare y = 1 – x, con \[x=\frac{1- \sqrt{5}}{2}\] e poi sostituire nella funzione assegnata la coppia (x, y) ed ottenere lo stesso risultato.