Massimo e minimo relativo di una funzione di due variabili con il determinante hessiano

Esercizio 1.- Data la funzione di due variabili f(x,y) = 6xy – x2y – xy2

a) determinare i punti di massimo e minimo relativo e i punti di sella.

Risoluzione (Per la teoria clicca qui )

Come prima cosa bisogna calcolare le derivate parziali prime della funzione f x (x,y)  e   fy (x,y). Si ha: \[f’_{x}\left ( x,y \right )=6y-2xy-y^{2},\, \, f’_{y}\left (x,y \right )=6x-x^{2}-2xy\] Quindi bisogna risolvere il sistema formato dalle due equazioni f x (x,y) = 0  e   fy (x,y) = 0

\[\left\{\begin{matrix} 6y-2xy-y^{2}&=0 \\ 6x-x^{2}-2xy& =0 \end{matrix}\right.\]

Il sistema ammette quattro soluzioni: (0,0), (6,0), (0,6), (2,2).
Ora bisogna calcolare il determinante hessiano

\[H\left ( x,y \right )=\begin{vmatrix} f”_{x} &f”_{xy} \\ f”_{yx} & f”_{y} \end{vmatrix}=f”_{x}\cdot f”_{y}-\left ( f”_{xy} \right )^{2}\] nei suddetti punti (0,0), (6,0), (0,6), (2,2).
Dato che nel determinante hessiano figurano le derivate parziali seconde bisogna prima di tutto calcolarle. Si ha:

\[f”_{xx}=-2y,\,\, f”_{yy}=-2x,\, \, f”_{xy}=6-2x-2y\]

di conseguenza il determinante hessiano nel generico punto (x,y) vale:

\[H\left ( x,y \right )=4xy-\left ( 6-2x-2y \right )^{2}\]

Determinante hessiano in (0,0):

\[H\left ( 0,0 \right )=4\left ( 0 \right )\left ( 0 \right )-\left ( 6-2\left ( 0 \right )-2\left ( 0 \right )^{2} \right )=-36<0\] quindi il punto (0,0) non è né di massimo né di minimo relativo, ma un punto di sella.

Determinante hessiano in (0,6):

\[H\left ( 0,6 \right )=4\left ( 0 \right )\left ( 6 \right )-\left ( 6-2\left ( 0 \right )-2\left ( 6 \right )^{2} \right )=-36<0\] quindi il punto (0,6) non è né di massimo né di minimo relativo, ma un punto di sella.

Determinante hessiano in (6,0):

\[H\left ( 6,0 \right )=4\left ( 6 \right )\left ( 0 \right )-\left ( 6-2\left ( 6 \right )-2\left ( 0 \right )^{2} \right )=-36<0\]

quindi il punto (6,0) non è né di massimo né di minimo relativo, ma un punto di sella.

Determinante hessiano in (2,2):

\[H\left ( 2,2 \right )=4\left ( 2 \right )\left ( 2 \right )-\left ( 6-2\left ( 2 \right )-2\left ( 2 \right )^{2} \right )=16-4=12>0\]

e visto che la derivata \[f”_{xx}\left ( 2,2 \right )<0\]

\[f”_{xx}\left ( 2,2 \right )=\left [ -2y \right ]_{\left ( 2,2 \right )}=-2\left ( 2 \right )=-4<0\]

si deduce, in base alla teoria, che il punto (2,2) è di massimo relativo per la funzione data.
Vedi il video sul mio canale Youtube

Esercizio 2.- Data la funzione di due variabili \[f(x,y)=x^{3}-3k^{2}x+y^{3}\]

determinare al variare del parametro reale k i massimi e minimi realtivi.

Esercizio 3.- Determinare gli eventuali massimi e minimi della funzione di due variabili $\displaystyle f(x,y)=\left ( x^{2}-x \right )e^{y^{2}-y}$ 

Il sistema delle derivate parziali prime è: $\displaystyle \left\{\begin{matrix} (2x-1)e^{y^{2}-y} &=0 \\ \left ( x^{2}-x \right )(2y-1)e^{y^{2}-y} & =0 \end{matrix}\right.$

e ammette l’unica soluzione A(1/2, 1/2)
Bisogna dunque calcolare l’Hessiano nel punto A…

Esercizio 4.- Determinare gli eventuali massimi e minimi della funzione di due variabili $\displaystyle f(x,y)=\ln\left ( 1+x^{2}y^{2} \right )$ 

Il sistema delle derivate parziali prime è:

\[\left\{\begin{matrix} \frac{2xy^{2}}{1+x^{2}y^{2}} &=0 \\ \, \, \frac{2yx^{2}}{1+x^{2}y^{2}}& =0 \end{matrix}\right.\]

e ammette per soluzioni il punto (0,0) e i punti (0,y), (x,0) per ogni x e y reali.

Bisogna dunque calcolare l’Hessiano…

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