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Massimo e minimo relativi di una funzione di due variabili con il determinante hessiano

Esercizio 1.1.- Data la funzione di due variabili $\displaystyle f(x,y)=6xy-x^{2}y-xy^{2}$  determinare i punti di massimo e minimo relativo e i punti di sella.

Prova a leggere la risoluzione o vedi il video sul mio canale Youtube

Risoluzione (Per la teoria clicca qui )

Suggerimento.- Come prima cosa bisogna calcolare le derivate parziali prime della funzione f x (x,y)  e   fy (x,y). Si ha: \[f’_{x}\left ( x,y \right )=6y-2xy-y^{2},\, \, f’_{y}\left (x,y \right )=6x-x^{2}-2xy\]

Risultato: (0,0),(0,6), (6,0) punti di sella, (2,2) punto di massimo relativo.

Se proprio non riesci vedi il video sul mio canale Youtube

Esempio 1.2.- Data la funzione \[f(x,y)=2x^{3}+y^{3}-3x^{2}-3y\]
determinare i massimi e minimi relativi.

Se non sai risolvere l’esercizio prova a vedere il mio video su Youtube

Esempio 1.3.- Data la funzione \[f(x,y)=\left ( x^{2}+2xy+y^{2} \right )\left ( y^{2}-2xy+x^{2} \right )\] determinare i massimi e minimi relativi.

Esercizio 2.- Data la funzione di due variabili \[f(x,y)=x^{3}-3k^{2}x+y^{3}\]

determinare al variare del parametro reale k i massimi e minimi relativi.

Esempio 3.1.- Determinare i massimi e minimi relativi della fuznione \[f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}-2x}\]

Se non sai risolvere l’esercizio prova a vedere il mio video su Youtube

Esercizio 3.2- Determinare gli eventuali massimi e minimi della funzione di due variabili $\displaystyle f(x,y)=\left ( x^{2}-x \right )e^{y^{2}-y}$ 

Risoluzione

Il sistema delle derivate parziali prime è: $\displaystyle \left\{\begin{matrix} (2x-1)e^{y^{2}-y} &=0 \\ \left ( x^{2}-x \right )(2y-1)e^{y^{2}-y} & =0 \end{matrix}\right.$

e ammette l’unica soluzione A(1/2, 1/2)
Bisogna dunque calcolare l’Hessiano nel punto A…

Esercizio 3.3- Determinare gli eventuali massimi e minimi della funzione di due variabili $\displaystyle f(x,y)=\ln\left ( 1+x^{2}y^{2} \right )$ 

Risoluzione

Il sistema delle derivate parziali prime è:

\[\left\{\begin{matrix} \frac{2xy^{2}}{1+x^{2}y^{2}} &=0 \\ \, \, \frac{2yx^{2}}{1+x^{2}y^{2}}& =0 \end{matrix}\right.\]

e ammette per soluzioni il punto (0,0) e i punti (0,y), (x,0) per ogni x e y reali.

Bisogna dunque calcolare l’Hessiano…