Alla fine nel 2024 non ci sono state domande di fisica e lo studente doveva scegliere tra due problemi di matematica e 8 quesiti tutti matematica.
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Nel 2024, chi avesse comprato e studiato sul mio libro Guida pratica per la prova scritta dellla maturità Scientifica sicuramente avrebbe trovato il Problema 1 abbastanza facile da svolgere.
Nel 2023, chi avesse comprato e studiato sul mio libro Guida pratica per la prova scritta dellla maturità Scientifica sicuramente avrebbe trovato il Problema 2 abbastanza facile da svolgere.
Testo della prova 2024: Problemi (clicca qui) – Quesiti (clicca qui)
Risoluzione
(parte del Problema 1, domanda b)
Della Maturità 2024 per ora proponiamo la domanda b) del Problema 1, ovvero il calcolo dell’ulteriore retta tangente alla curva passante per P(1,5); indichiamo con t’ questa ulteriore retta tangente.
!° Metodo.- In pratica si chiede di calcolare l’ulteriore retta tangente t’ alla curva $ y=\frac{x^{3}+4}{x^{2}}$ passante per il punto P(1,5). Indicato con h l’ascissa del punto H di tangenza tra la retta e la curva si ha che l’equazione della tangente è: \[ y-\frac{h^{3}+4}{h^{2}}=f'(h)(x-h)\]
con
$f'(h)=1-\frac{8}{h^{3}}$
e
\[H\left(h,\frac{h^{3}+4}{h^{2}}\right)\]
Ma tale tangente deve passare per il punto P(1,5) e dunque sostituendo x = 1 e y = 5 si ha l’equazione nell’incognita h:
\[5-\frac{h^{3}+4}{h^{2}}=\left(1-\frac{8}{h^{3}}\right)(1-h)\]
e cioè l’equazione di terzo grado:
\[h^{3}-3h+2=0\,\,ossia\,\,\,\left(h-1\right)^{2}(h+2)=0\]
da cui si ricava h =1 e h = -2. Per h = -2 si ha l’ulteriore retta tangente t’ alla curva passante per P (1,5) ed ha equazione y = 2x+3, con punto di tangenza H(-2,-1)
2° Metodo.- Si mette a sistema l’equazione della curva $ y=\frac{x^{3}+4}{x^{2}}$ con l’equazione della retta generica passante per P (1,5), y-5=m(x-1), e poi si impone la condizione di tangenza delta uguale a zero $\Delta=0$ nell’equazione:
\[ x^{3}(1-m)-x^{2}(5-m)+4=0\]
da cui con la Regola di Ruffini si ottiene l’equazione:
\[(x-1)[{x}^{2}(1-m)-4x-4]=0\]
e imponendo $\Delta=0$ nell’equazione di secondo grado si ha:
\[\Delta=0\to 32-16m=0\to m=2\]
Per m = 2 si ottiene l’ulteriore retta tangente t’ d’equazione y = 2x +3.
Risoluzione del primo quesito
Il primo quesito si può risolvere in molti modi, proponiamo un modo adatto anche ai ragazzi della Terza Media.