Media aritmetica mediana moda e quartili di una distribuzione statistica

1,- Medie di una distribuzione statistica

a) Media aritmetica.- Si dice media aritmetica M della variabile statistica  \[X=\left \{ x_{1}, x_{2},…,x_{n}\right \}\]il seguente valore: \[M=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}=\frac{x_{1}+x_{2}+…+x_{n}}{n}\] N.B. Se i dati sono raggruppati in classi per calcolare la media si considera il valore centrale della classe.

b) Media aritmetica ponderata.- Si dice media aritmetica ponderata della variabile statistica   \[X=\left \{ x_{1}, x_{2},…,x_{n}\right \}\]  ossia degli n dati:\[x_{1}, x_{2},…,x_{n}\] di pesi rispettivamente \[p_{1}, p_{2},…,p_{n}\] il seguente valore:\[M_{p}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}p_{i}/\sum_{i=1}^{n}p_{i}=\frac{x_{1}\, p_{1}+x_{2}\, p_{2}+...+x_{n}\, p_{n}}{p_{1}+p_{2}+...p_{n}}\]

c) Media geometrica.-  Si dice media geometrica degli n dati \[x_{1}, x_{2},…,x_{n}\] il seguente valore\[M_{g}=\sqrt[n]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot …\cdot x_{n}}\]con \[x_{i}>0\, \, \, \forall i=1,2,…n\]

d) Media armonica.- Si dice media armonica degli n dati  il seguente valore:

e) Media quadratica.-  Si dice media quadratica semplice degli n dati  il seguente valore:

Proprietà delle medie

a) La somma degli scarti di ogni dato dalla media aritmetica è sempre zero, cioè la media è il baricentro di una distribuzione di frequenza.
b) La media è l’unico valore che rende minima la somma degli scarti al quadrato.
c) Se la variabile \[X\] ha media M allora la variabile \[\alpha +\beta X\] ottenuta mediante una trasformazione lineare con coefficienti \[\alpha \, \, e\, \, \beta\] ha media \[\alpha +\beta M\].
In particolare la variabile  \[\alpha +X\]  ha media \[\alpha +M\], e la variabile \[\beta X\] ha media \[\beta M\].

d) si ha:  .

f) 

La proprietà f) permette di aggiornare la media Mn quando si dispone di una nuova informazione xn+1 ,ottenendo la nuova media Mn+1. Si capisce che se la nuova informazione xn+1 è
proprio uguale alla media Mn la media non cambia, cioè la media su n informazioni è la stessa che su n + 1 informazioni

2.- Moda, mediana, quartili e percentili.

a) La Moda.- La moda o norma è la modalità della variabile X che si presenta con la massima frequenza.

N.B. La moda per una variabile raggruppata in classi è la classe a cui corrisponde la massima frequenza.

b) Mediana.- Si dice mediana della variabile , ordinata in modo crescente, il seguente valore:

Se la variabile X è continua, il raggruppamento in classi permette di determinare al più una classe mediana nella quale cade la modalità che divide in due parti uguali la distribuzione ordinata delle modalità.

N.B. La mediana è quel valore che minimizza la somma degli scarti assoluti.

Quartili delle variabili statistiche. Quantili e percentili.
Altri indicatori di una distribuzione ordinata in senso crescente sono i quartili Q1 , Q2 , Q3 , Q4.

Il primo quartile Q1 è il termine che divide la distribuzione in due parti lasciando da una parte il 25% dei termini della distribuzione e dall’altra il 75% dei termini.

Il secondo quartile Q2 è il termine che divide la distribuzione in due parti uguali; esso coincide con la mediana.

Il terzo quartile Q3 è il termine che divide la distribuzione in due parti lasciando da una parte il 75% e dall’altra
il 25% dei termini della distribuzione. Il quarto quartile Q4. coincide con il massimo valore che assume la distribuzione.

 

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