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Media aritmetica mediana moda e quartili di una distribuzione statistica

1,- Medie di una distribuzione statistica

a) Media aritmetica.- Si dice media aritmetica M della variabile statistica  \[X=\left \{ x_{1}, x_{2},…,x_{n}\right \}\]il seguente valore: \[M=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}=\frac{x_{1}+x_{2}+…+x_{n}}{n}\]

Nota.- Se i dati sono raggruppati in classi per calcolare la media si considera il valore centrale della classe.

b) Media aritmetica ponderata.- Si dice media aritmetica ponderata della variabile statistica   \[X=\left \{ x_{1}, x_{2},…,x_{n}\right \}\]  ossia degli n dati:\[x_{1}, x_{2},…,x_{n}\] di pesi rispettivamente \[p_{1}, p_{2},…,p_{n}\] il seguente valore:

\[M_{p}=\frac{x_{1}\cdot p_{1}+x_{2}\cdot p_{2}+…+x_{n}p_{n}}{p_{1}+p_{2}+…+p_{n}}\]

c) Media geometrica.-  Si dice media geometrica degli n dati \[x_{1}, x_{2},…,x_{n}\] il seguente valore\[M_{g}=\sqrt[n]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot …\cdot x_{n}}\]con \[x_{i}>0\, \, \, \forall i=1,2,…n\]

d) Media armonica.- Si dice media armonica degli n dati  il seguente valore:

$\displaystyle M_{ar}=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}}}$

 

e) Media quadratica.-  Si dice media quadratica semplice degli n dati  il seguente valore:

\[M_{q}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}^{2}}n{}}\]

Proprietà delle medie

a) La somma degli scarti di ogni dato dalla media aritmetica è sempre zero, cioè la media è il baricentro di una distribuzione di frequenza.
b) La media è l’unico valore che rende minima la somma degli scarti al quadrato.
c) Se la variabile $\displaystyle X$ ha media M allora la variabile $\displaystyle \alpha +\beta X$ ottenuta mediante una trasformazione lineare con coefficienti $\displaystyle \alpha \, e\, \beta$ ha media \[\alpha +\beta M\].
In particolare la variabile $\displaystyle \alpha +X$ ha media $\displaystyle \alpha +M$, e la variabile $\displaystyle \beta X$ ha media $\displaystyle \beta M$.

d) $\forall x_{1},x_{1},…x_{n}$ si ha: $M_{ar}<M_{g}<M<M_{q}$

f) $\displaystyle M_{n+1}=M_{n}+\frac{x_{n+1}-M_{n}}{n+1}$

La proprietà f) permette di aggiornare la media $\displaystyle M_{n}$ quando si dispone di una nuova informazione $\displaystyle x_{n+1}$, ottenendo la nuova media $\displaystyle M_{n+1}$. Si capisce che se la nuova informazione $\displaystyle x_{n+1}$ è proprio uguale alla media $\displaystyle M_{n}$ la media non cambia, cioè la media su n informazioni è la stessa che su n + 1 informazioni.

2.- Moda, mediana, quartili e percentili.

a) La Moda.- La moda o norma è la modalità della variabile X che si presenta con la massima frequenza.

N.B. La moda per una variabile raggruppata in classi è la classe a cui corrisponde la massima frequenza, viene detta classe modale.

b) Mediana.- Si dice mediana della variabile $\displaystyle X=\left \{ x_{1},x_{2},x_{3},…,x_{n} \right \}$, ordinata in modo crescente, il seguente valore:

\[M_{e}=\left\{\begin{matrix} \frac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2} &se \, n \, è\, pari \\ & \\ x_{\frac{n+1}{2}} &se\, n\, è\, dispari \end{matrix}\right.\]

Se la variabile X è continua, il raggruppamento in classi permette di determinare al più una classe mediana nella quale cade la modalità che divide in due parti uguali la distribuzione ordinata delle modalità.

N.B.1. La mediana è quel valore che minimizza la somma degli scarti assoluti.

N.B.2. La median per una variabile raggruppata in classi si calcola con una procedura che mostriamo qui (in preparazione)

Quartili delle variabili statistiche. Quantili e percentili.
Altri indicatori di una distribuzione ordinata in senso crescente sono i quartili \[Q_{1},\, Q_{2},\, Q_{3},\, Q_{4}\]

Il primo quartile $\displaystyle Q_{1}$  è il termine che divide la distribuzione in due parti lasciando da una parte il 25% dei termini della distribuzione e dall’altra il 75% dei termini.

Il secondo quartile $\displaystyle Q_{2}$  è il termine che divide la distribuzione in due parti uguali; esso coincide con la mediana.

Il terzo quartile $\displaystyle Q_{1}$ è il termine che divide la distribuzione in due parti lasciando da una parte il 75% e dall’altra il 25% dei termini della distribuzione. Il quarto quartile $\displaystyle Q_{4}$ . coincide con il massimo valore che assume la distribuzione.