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Metodo completamento dei due quadrati per l’ellisse o l’iperbole traslata

Nei prossimi esempi vogliamo mostrare il metodo del completamento dei due quadrati per ottenere un’ellisse traslata a partire dalla sua equazione di secondo grado del tipo

\[Mx^{2}+Ny^{2}+Ax+By+C=0\]

Ricordiamo che una tale equazione rappresenta un’ellisse nel caso \[M>0,N>0,M\neq N\]

Esempio 1.- Data l’equazione \[4x^{2}+y^{2}-8x+6y+9=0\] determinare l’equazione dell’ellisse traslata e disegnarne il grafico.
Cominiciamo a scrivere l’equazione nel seguente modo \[\left ( 4x^{2}-8x \right )+\left ( y^{2}+6y \right )+9=0\]…

Non sai continuare l’esercizio? Allora vedi il video sul mio canale Yuotube

Esempio 2.- Data l’equazione \[x^{2}+5y^{2}-6x+10y+4=0\] determinare l’equazione dell’ellisse traslata e disegnarne il grafico.

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Una procedura analoga si può impiegare nel caso dell’iperbole traslata.

Esempio 3.- Data l’iperbole d’equazione $\displaystyle 9x^{2}-4y^{2}-32y-100=0$ disegnarla nel piano cartesiano e determinare la lunghezza della corda intercettata sulla retta $\displaystyle y=\frac{3}{4}x-\frac{5}{2}$

Suggerimento e risultati.- Prima bisogna scrivere l’iperbole nella forma di una iperbole traslata, quindi determinando i vertici si può disegnare. I vertici sono $\displaystyle A\left ( 2,-4 \right ),A’\left ( -2,-4 \right ),B\left ( 0,-1 \right ),B’\left ( 0,-7 \right )$. I punti d’intersezione con la retta sono $\displaystyle T\left ( \frac{10}{3},0 \right ), P\left ( -2,-4 \right )$ ; la corda TS è lunga $\displaystyle \frac{20}{3}$