A) Metodo di Lagrange per le equazioni differenziali non omogenee a coefficienti costanti del secondo ordine.
Per l’equazione del secondo ordine \[y”+by’+cy=f(x)\]
un integrale particolare dell’equazione assegnata si può calcolare con il metodo di Lagrange, chiamato della variazione delle costanti arbitrarie, e sarà del tipo:
\[q(x)=c_{1}(x)y_{1}+c_{2}(x)y_{2}\]
ove le funzioni $\displaystyle c_{1}(x),\, \, c_{2}(x)$ si ottengono dal seguente sistema:
\[\left\{\begin{matrix} c’_{1}(x)y_{1}+c’_{2}(x)y_{2} &=0 \\ c’_{1}(x)y’_{1}+c’_{2}(x)y’_{2} & =f(x) \end{matrix}\right.\]
determinate le funzioni $\displaystyle c’_{1}(x),\, \, c’_{2}(x)$ si troveranno per integrazione $\displaystyle c_{1}(x),\, \, c_{2}(x)$:
$\displaystyle c_{1}(x)=\int c_{1}'(x)dx,\, \, c_{2}(x)=\int c_{2}'(x)dx$
mentre $\displaystyle y_{1},\, y_{2}$ sono i due integrali particolari dell’omogenea associata, cioè un sistema fondamentale di soluzioni dell’equazione omogenea associata.
Esempio 1.- Risolvere la seguente equazione differenziale \[y”-y=\frac{1}{x^{2}}\]
Non sai applicare il metodo di Lagrange? Allora vedi il mio video su Youtube
Esempio 2.- Risolvere la seguente equazione differenziale con il metodo di Lagrange $\displaystyle y”-y’=xcosx$
Esempio 3.- Risolvere la seguente equazione differenziale con il metodo di Lagrange $\displaystyle y”+y=xsenx$
B) Metodo di Lagrange per le equazioni differenziali non omogenee a coefficienti costanti d’ordine n.
Per l’equazione d’ordine n
\[y^{\left ( n \right )}+a_{1}y^{\left ( n-1 \right )}+…+a_{n-1}y’+a_{n}y=f(x)\]
un integrale particolare dell’equazione assegnata si può calcolare con il metodo di Lagrange, chiamato della variazione delle costanti arbitrarie, e sarà del tipo:
\[q(x)=c_{1}\left ( x \right )y_{1}+c_{2}\left ( x \right )y_{2}+…+c_{n}\left ( x \right )y_{n}\]
ove le funzioni $\displaystyle c_{1}\left ( x \right ),c_{2}\left ( x \right ),…,c_{n}\left ( x \right )$ si ottengono dal seguente sistema:
$\displaystyle \left\{\begin{matrix} c’_{1}\left ( x \right )y_{1}\left ( x \right )+c’_{2}\left ( x \right )y_{2}\left ( x \right )+…+c’_{n}\left ( x \right )y_{n}\left ( x \right ) &=0 \\ c’_{1}\left ( x \right )y’_{1}\left ( x \right )+c’_{2}\left ( x \right )y’_{2}\left ( x \right )+…+c’_{n}\left ( x \right )y’_{n}\left ( x \right ) &=0 \\ … & \\ c’_{1}\left ( x \right )y^{ (n-1)}_{1}\left ( x \right )+c’_{2}\left ( x \right )y^{(n-1)}_{2}\left ( x \right )+…+c’_{n}\left ( x \right )y^{(n-1)}_{n}\left ( x \right ) & =f(x) \end{matrix}\right.$
determinate le funzioni $\displaystyle c’_{1}(x),\, \, c’_{2}(x),\,…, c’_{n}(x) $ si troveranno per integrazione $\displaystyle c_{1}(x),\, \, c_{2}(x),\, …,c_{n}(x)$:
$\displaystyle c_{1}(x)=\int c_{1}'(x)dx,\, \, c_{2}(x)=\int c_{2}'(x)dx,…\, c_{n}(x)=\int c_{n}'(x)dx$
mentre $\displaystyle y_{1},\, y_{2}, \,…, y_{n}$ sono n integrali particolari dell’omogenea associata, cioè un sistema fondamentale di soluzioni dell’equazione omogenea associata.
Esempio 3.- Risolvere la seguente equazione differenziale con il metodo di Lagrange $\displaystyle y^{\left ( 3 \right )}-6y^{\left ( 2 \right )}+11y’-6y=\frac{e^{x}}{x}$
Esempio 4.- Risolvere la seguente equazione differenziale con il metodo di Lagrange $\displaystyle y^{\left ( 4 \right )}+4y^{\left ( 3 \right )}-7y^{\left ( 2 \right )}-22y’+24y=\sqrt{x}$