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Metodo di Lagrange o della variazione delle costanti arbitrarie

A) Metodo di Lagrange per le equazioni differenziali non omogenee a coefficienti costanti del secondo ordine.

Per l’equazione del secondo ordine \[y”+by’+cy=f(x)\]
un integrale particolare dell’equazione assegnata si può calcolare con il metodo di Lagrange, chiamato della variazione delle costanti arbitrarie, e sarà del tipo:

\[q(x)=c_{1}(x)y_{1}+c_{2}(x)y_{2}\]

ove le funzioni $\displaystyle c_{1}(x),\, \, c_{2}(x)$ si ottengono dal seguente sistema:

\[\left\{\begin{matrix} c’_{1}(x)y_{1}+c’_{2}(x)y_{2} &=0 \\ c’_{1}(x)y’_{1}+c’_{2}(x)y’_{2} & =f(x) \end{matrix}\right.\]

determinate le funzioni $\displaystyle c’_{1}(x),\, \, c’_{2}(x)$ si troveranno per integrazione $\displaystyle c_{1}(x),\, \, c_{2}(x)$:

$\displaystyle c_{1}(x)=\int c_{1}'(x)dx,\, \, c_{2}(x)=\int c_{2}'(x)dx$

mentre $\displaystyle y_{1},\, y_{2}$  sono i due integrali particolari dell’omogenea associata, cioè un sistema fondamentale di soluzioni dell’equazione omogenea associata.

Esempio 1.- Risolvere la seguente equazione differenziale \[y”-y=\frac{1}{x^{2}}\]

Non sai applicare il metodo di Lagrange? Allora vedi il mio video su Youtube

Esempio 2.- Risolvere la seguente equazione differenziale con il metodo di Lagrange $\displaystyle y”-y’=xcosx$

Esempio 3.- Risolvere la seguente equazione differenziale con il metodo di Lagrange $\displaystyle y”+y=xsenx$

B) Metodo di Lagrange per le equazioni differenziali non omogenee a coefficienti costanti d’ordine n.

Per l’equazione d’ordine n
\[y^{\left ( n \right )}+a_{1}y^{\left ( n-1 \right )}+…+a_{n-1}y’+a_{n}y=f(x)\]

un integrale particolare dell’equazione assegnata si può calcolare con il metodo di Lagrange, chiamato della variazione delle costanti arbitrarie, e sarà del tipo:

\[q(x)=c_{1}\left ( x \right )y_{1}+c_{2}\left ( x \right )y_{2}+…+c_{n}\left ( x \right )y_{n}\]

ove le funzioni $\displaystyle c_{1}\left ( x \right ),c_{2}\left ( x \right ),…,c_{n}\left ( x \right )$ si ottengono dal seguente sistema:

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} c’_{1}\left ( x \right )y_{1}\left ( x \right )+c’_{2}\left ( x \right )y_{2}\left ( x \right )+…+c’_{n}\left ( x \right )y_{n}\left ( x \right ) &=0 \\ c’_{1}\left ( x \right )y’_{1}\left ( x \right )+c’_{2}\left ( x \right )y’_{2}\left ( x \right )+…+c’_{n}\left ( x \right )y’_{n}\left ( x \right ) &=0 \\ … & \\ c’_{1}\left ( x \right )y^{ (n-1)}_{1}\left ( x \right )+c’_{2}\left ( x \right )y^{(n-1)}_{2}\left ( x \right )+…+c’_{n}\left ( x \right )y^{(n-1)}_{n}\left ( x \right ) & =f(x) \end{matrix}\right.$

determinate le funzioni $\displaystyle c’_{1}(x),\, \, c’_{2}(x),\,…, c’_{n}(x) $ si troveranno per integrazione $\displaystyle c_{1}(x),\, \, c_{2}(x),\, …,c_{n}(x)$:

$\displaystyle c_{1}(x)=\int c_{1}'(x)dx,\, \, c_{2}(x)=\int c_{2}'(x)dx,…\, c_{n}(x)=\int c_{n}'(x)dx$

mentre $\displaystyle y_{1},\, y_{2}, \,…, y_{n}$  sono n integrali particolari dell’omogenea associata, cioè un sistema fondamentale di soluzioni dell’equazione omogenea associata.

Esempio 3.- Risolvere la seguente equazione differenziale con il metodo di Lagrange $\displaystyle y^{\left ( 3 \right )}-6y^{\left ( 2 \right )}+11y’-6y=\frac{e^{x}}{x}$

Esempio 4.- Risolvere la seguente equazione differenziale con il metodo di Lagrange $\displaystyle y^{\left ( 4 \right )}+4y^{\left ( 3 \right )}-7y^{\left ( 2 \right )}-22y’+24y=\sqrt{x}$