Crea sito

Nucleo e immagine di una applicazione lineare

Data un’applicazione lineare  \[f: V_{n}\rightarrow W_{p}\]  si dice immagine di f il sottoinsieme di W formato dalle immagini dell’applicazione, cioé

\[Img(f)=\left \{ f\left ( v \right ) \right \}_{\mathbf{v}\in V_{n}}\]

Ricordiamo che Img(f) è uno sottospazio vettoriale di W, e la sua dimensione si dice rango di f.

Data un’applicazione lineare  \[f: V_{n}\rightarrow W_{p}\]  si dice nucleo dell’applicazione il sottoinsieme di V avente per immagine il vettore nullo di W \[N(f)=\left \{ \mathbf{v}\in V_{n} : f\left ( \mathbf{v} \right )=\mathbf{0}\right \}\]
Ricordiamo che N(f), o ker(f), è uno sottospazio vettoriale di V.

Nota.- Per ogni applicazione lineare risulta che \[dim Img(f)+dim N(f)=n\]

Esempio 1.- Calcolare il  nucleo e l’immagine della seguente applicazione lineare \[f:R^{3}\rightarrow R^{2}\]  così definita \[f(x,y,z)=(x+2y,x+y+z)\]

Si tratta di determinare tutti i vettori di R^3 che hanno, tramite l’applicazione, per immagine il vettore nullo 0(0,0). In pratica basta richiedere che le componenti del generico vettore di R^2 siano nulle, ovvero x + 2y = 0, x + y + z = 0, ossia \[\left\{\begin{matrix} x+2y &=0 \\ x+y+z & =0 \end{matrix}\right.\]
Risolto tale sistema omogeneo si vede che le sue soluzioni sono \[\left ( -2z,z,z \right )_{z\in R}\] e dunque il nucleo dell’applicazione è \[N(f)=\left \{ \left ( -2z,z,z \right ) \right \}_{z\in R}\]ovvero lo spazio vettoriale generato, ad esempio, dal vettore (-2,1,1) di dimensione 1.