Numeri complessi esercizi svolti

Esercizi svolti e da svolgere sui numeri complessi

1. Calcolare l’espressione \[3\left ( 1-i \right )^{2}+\frac{1}{2}\left ( 2-3i \right )-\frac{4+3i}{2-i}\]

2. Calcolare le potenze: \[i^{123},\: i^{2341},\: i^{100}\]

Le potenze dell’unità immaginaria i sono cicliche \[i^{0}=1,\, i^{1}=i,\, i^{2}=-1,\, i^{3}=-i\]

Pertanto per calcolare la potenza di i con esponente 123 bisogna fare la divisione 123 diviso 4 e considerare il resto 3 della divisione, si ha:\[i^{123}=i^{3}=-i\]. Analogamente si ha \[i^{2341}=i^{1}=i\] \[i^{100}=i^{0}=1\]

3. Risolvere l’equazione algebrica: \[x^{2}+x+1=0\] Applicando la formula risolutiva dell’equazione di secondo grado si ha \[x=\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{-1}\sqrt{3}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\pm \frac{i\sqrt{3}}{2}\]

4. Risolvere l’equazione algebrica \[x^{2}+4=0\] Si ha:

\[x^{2}=-4\Rightarrow x=\pm \sqrt{-4}=\pm \sqrt{-1}\sqrt{4}=\pm 2i\]

5. Risolvere l’equazione algebric\[x^{2}-5ix-6=0\]

Si ha:
\[x=\frac{5i\pm \sqrt{\left ( -5i \right )^{2}-4\left ( 1 \right )\left ( -6 \right )}}{2}=\frac{5i\pm \sqrt{-25+24}}{2}=\frac{5i\pm i}{2}=…\left\{\begin{matrix} x=2i & \\ x=3i & \end{matrix}\right.\]

6. Risolvere l’equazione algebrica:

7. Calcolare \[\left ( z-i \right )^{6}=2\]

8. Scrivere in forma trigonometrica il numero \[z=1-i\] Si ha \[z=\sqrt{2}\left ( cos\left ( \frac{-\pi }{4} \right )+isen\left ( \frac{-\pi }{4} \right ) \right )=…\]essendo \[\rho =\sqrt{2},\: \theta =\frac{-\pi }{4}\]

9. Scrivere in forma trigonometrica il numero:

10. Scrivere in forma trigonometrica il numero:

11. Scrivere in forma trigonometrica il numero.

12. Moltiplicare i numeri:

13. Calcolare il quoziente tra i numeri:

14. Determinare le soluzioni nel campo complesso dell’equazione:

15. Scrivere in forma algebrica:

16. Calcolare le radici del numero complesso:

17. Calcolare le radice quarte del numero complesso:

18. Calcolare le potenze:

19. Risolvere l’equazione:

20.Risolvere l’equazione:

21. Determinare il parametro a reale positivo dell’equazione tale che le soluzioni dell’equazione verifichino la circonferenza di centro l’origine e raggio 2.

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