Esempio 1. Operazioni con i numeri complessi.- Calcolare il valore dell’espressione
a) $3\left ( 1-i \right )^{2}+\frac{1}{2}\left ( 2-3i \right )-\frac{4+3i}{2-i}$
b) $(1-4i)^{2}-3(2+i)^{3}-5(-i+3)^{4}$
Esempio 2. Calcolare le potenze: \[i^{123},\: i^{2341},\: i^{100}\]
Risoluzione
Le potenze dell’unità immaginaria i sono cicliche \[i^{0}=1,\, i^{1}=i,\, i^{2}=-1,\, i^{3}=-i\]
Pertanto per calcolare la potenza di i con esponente 123 bisogna fare la divisione 123 diviso 4 e considerare il resto 3 della divisione, si ha:\[i^{123}=i^{3}=-i\]. Analogamente si ha \[i^{2341}=i^{1}=i\] \[i^{100}=i^{0}=1\]
Esempio 2.1. Calcolare le potenze dei seguenti numeri immaginari puri:
\[(-2i)^{2},\: (3i)^{3},\: (-5i)^{4}\]
$(-\frac{3}{2}i)^{3}$, $(\frac{\sqrt{2}}{2}i)^{5}$
Esempio 3.1.- Risoluzione di un’equazione di secondo grado in C.- Risolvere l’equazione algebrica: \[x^{2}+x+1=0\]
Risoluzione
Applicando la formula risolutiva dell’equazione di secondo grado si ha \[x=\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{-1}\sqrt{3}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\pm \frac{i\sqrt{3}}{2}\]
Esempio 3.2.- Risolvere l’equazione algebrica \[x^{2}+4=0\]
Risoluzione
Si ha:
\[x^{2}=-4\Rightarrow x=\pm \sqrt{-4}=\pm \sqrt{-1}\sqrt{4}=\pm 2i\]
Esempio 3.3.- Risolvere anche l’equazione: \[\sqrt[3]{9}\, x^{2}+\sqrt[3]{24}\, \, x+2=0\]
Si ha: \[\sqrt[3]{9}\, x^{2}+\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{8}\, x+2=0\Rightarrow \sqrt[3]{9}\, x^{2}+2\cdot \sqrt[3]{3}\, x+2=0\]
da cui \[x=\frac{-\sqrt[3]{3}\pm\sqrt{\sqrt[3]{9}-2\sqrt[3]{9}}}{\sqrt[3]{9}}=…\rightarrow x=-\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\pm i\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\]
Esempio 3.4.- Risolvere l’equazione algebrica \[x^{2}-5ix-6=0\]
Risoluzione
Si ha:
\[x=\frac{5i\pm \sqrt{\left ( -5i \right )^{2}-4\left ( 1 \right )\left ( -6 \right )}}{2}=\frac{5i\pm \sqrt{-25+24}}{2}=\frac{5i\pm i}{2}=…\left\{\begin{matrix} x=2i & \\ x=3i & \end{matrix}\right.\]
Esempio 3.5.- Risolvere l’equazione algebrica: $\displaystyle z^{2}-4\overline{z}=-3$
Esempio 3.6.-Risolvere l’equazione \[\left ( z-i \right )^{6}=2\]
Esempio 4.1.- Scrivere in forma trigonometrica il numero \[z=1-i\] Si ha \[z=\sqrt{2}\left ( cos\left ( \frac{-\pi }{4} \right )+isen\left ( \frac{-\pi }{4} \right ) \right )=…\]essendo \[\rho =\sqrt{2},\: \theta =\frac{-\pi }{4}\]
Esempio 4.2.- Scrivere in forma trigonometrica il numero: $\displaystyle z=3+3i$
Esempio 4.3.- Scrivere in forma trigonometrica il numero: $\displaystyle z=1+\sqrt{3}i$
Esempio 4.4.- Scrivere in forma trigonometrica il numero. $\displaystyle z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$
Esempio 12. Moltiplicare i numeri: $\displaystyle z=\sqrt{3}+i,w=1-\sqrt{3}i$
Esempio 13. Calcolare il quoziente tra i numeri: $\displaystyle z=\sqrt{3}+i,\, \, w=1-\sqrt{3}i$
Esempio 14. Determinare le soluzioni nel campo complesso dell’equazione:$\displaystyle \left ( \frac{z+i}{z-1} \right )^{2}=-8i$
Esempio 15. Scrivere in forma algebrica:$\displaystyle \left ( \frac{1-i}{1+i} \right )^{4}$
Esempio 16. Calcolare le radici del numero complesso: $\displaystyle z=\sqrt{1-i}$
Esempio 17. Calcolare le radice quarte del numero complesso: $\displaystyle z=1+i$
Esempio 18. Calcolare le potenze: \[\left ( 2\sqrt{2}i+2\sqrt{2} \right )^{2},\, \left ( \sqrt{3}+i \right )^{3},\left ( \sqrt{3}-3i \right )^{2},\left ( -\sqrt{2}i+\sqrt{2} \right )^{4}\]
Esempio 19. Risolvere l’equazione: $\displaystyle iz^{2}-2z+3i=0$
Risoluzione
L’esercizio si può risolvere applicando la formula risolutiva dell’equazione di secondo grado \[z=\frac{1\pm \sqrt{1-3i^{2}}}{i}=…\]
o come nel mio video.
Non sai risolvere l’esercizio? Allora vedi il video sul mio canale Youtube
Esempio 19.1. Risolvere l’equazione: $\displaystyle z^{2}+z\overline{z}=1+2i$
Esempio 19.2.- Risolvere in C l’equazione \[z^{3}-z^{2}-2iz+2i=0\]
Esempio 20. Risolvere l’equazione: $\displaystyle \left ( z^{2} +5\right )+2iz-\left ( z+i \right )^{2}=3z^{2}+1$
Esempio 21. Determinare il parametro a reale positivo dell’equazione $\displaystyle aix^{3}-2i+2=0$ tale che le soluzioni dell’equazione verifichino la circonferenza di centro l’origine e raggio 2.
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Molto interessante!