Equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y ( fig. 2)
Equazione: \[y=ax^{2}+bx+c\]
Vertice:\[V\left ( x_{v}, y_{v} \right ):\, \, \, x_{v}=-\frac{b}{2a},\, \, y_{v}=-\frac{\Delta }{4a}\]
Fuoco:\[F\left ( x_{F}, y_{F} \right ):\, \, \, x_{F}=-\frac{b}{2a},\, \, y_{F}=\frac{1-\Delta }{4a}\]
Asse di simmetria d’equazione: \[x=\frac{-b }{2a}\]
Direttrice d d’equazione: \[y=\frac{-1-\Delta }{4a}\]
Concavità: rivolta verso l’alto se a > 0, verso il basso se a < 0
Esempio 1.1.- Determinare gli elementi fondamentali della seguente parabola $y=x^{2}-2x+5$.
Calcoliamo dunque il vertice, il fuoco, la direttrice l’asse di simmetria e la concavità.
Vertice:
$x_{v}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2(1)}=1,\, \, y_{v}=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{-16 }{4(1)}=4$
Fuoco:
$x_{F}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2(1)}=1,\, \, y_{v}=\frac{1-\Delta }{4a}=\frac{1-(-16) }{4(1)}=17/4$
Direttrice (retta y = 15/4):
\[y=\frac{-1-\Delta }{4a}=\frac{-1-(-16) }{4(1)}=15/4\]
Asse di simmetria (retta x = 1):
\[x=-\frac{b }{2a}=-\frac{-2 }{2(1)}=1\]
Concavità:
a = 1 > 0 dunque concavità verso l’alto
(parabola aperta verso la direzione positiva dell’asse y)
Equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x ( fig. 3)
Equazione: \[x=ay^{2}+by+c\]
Vertice: \[V\left ( x_{v}, y_{v} \right ):\, \, \, x_{v}=-\frac{\Delta}{4a},\, \, y_{v}=-\frac{b }{2a}\]
Fuoco: \[F\left ( x_{F}, y_{F} \right ):\, \, \, x_{F}=\frac{1-\Delta}{4a},\, \, y_{F}=\frac{-b }{2a}\]
Asse di simmetria d’equazione:\[y=\frac{-b }{2a}\]
Direttrice d d’equazione: \[x=\frac{-1-\Delta }{4a}\]
Concavità: rivolta verso destra se a > 0, verso sinistra se a < 0
Esempio 2.1.- Determinare gli elementi fondamentali della seguente parabola $x=2y^{2}-8y+1$.
Calcoliamo dunque il vertice, il fuoco, la direttrice l’asse di simmetria e la concavità.
Puoi consultare altri degli esercizi svolti sul mio canale Youtube, o in questo usando la funzione di ricerca.