φ = 1,61803 39887 49894 84820 34365…
ovviamente tutte le infinite cifre decimali non sono note. Questo numero irrazionale ha innumerevoli proprietà.
Proprietà
φ2 = φ + 1
φ3 = φ2 + φ
φ4 = φ3 + φ2
…
Qualsiasi potenza di φ è uguale alla somma delle due potenze di φ immediatamente precedenti. La proprietà si prova tenendo conto che φ è soluzione dell’equazione
x2 – x -1 = 0, cioè
φ2 – φ – 1 = 0 ® φ2 = φ + 1.
1) Sezione aurea di un segmento. Il numero φ si può ricavare o definire nel seguente modo.
Si dice sezione aurea di un segmento AB la parte, AC, del segmento dato, media proporzionale tra l’intero segmento e la restante parte del segmento:
La sezione aurea o rapporto aureo si chiama anche numero aureo o costante di Fidia o proporzione divina. Pare che gli oggetti in proporzione divina appaiano più armoniosi ai nostri occhi.
Proprietà
φ3 = 2φ + 1
φ4 = 3φ + 2
φ5 = 5φ + 3
φ6 = 8φ + 5
φ7 = 13φ + 8
φ8 = 21φ + 13
…
I coefficienti a secondo membro sono i numeri di Fibonacci
2) Proprietà.
3) Proprietà, frazioni continue.