Phi, la sezione aurea e Fibonacci

Un altro numero irrazionale molto importante è il numero aureo, o divino, indicato con la lettera φ:

 φ = 1,61803 39887 49894 84820 34365...

ovviamente tutte le infinite cifre decimali non sono note.
Questo numero irrazionale ha innumerevoli proprietà.

Proprietà

φ2 = φ + 1

φ3 = φ2 + φ

φ4 = φ3 + φ2

...

Qualsiasi potenza di φ è uguale alla somma delle due potenze di φ immediatamente precedenti. La proprietà si prova tenendo conto che  φ è soluzione dell'equazione

x2 - x -1 = 0,   cioè

φ2 - φ - 1 = 0  ® φ2 = φ + 1.

1) Sezione aurea di un segmento. Il numero φ si può ricavare o definire nel seguente modo.
Si dice sezione aurea di un segmento AB la parte, AC, del segmento dato, media proporzionale tra l'intero segmento e la restante parte del segmento:

 

  

cioè

avendo scelto come unità di misura CB = 1 e indicato con x = AC (fig. 1).

La sezione aurea o rapporto aureo si chiama anche numero aureo o costante di Fidia o proporzione divina. Pare che gli oggetti in proporzione divina appaiano più armoniosi ai nostri occhi

Proprietà

φ3 = 2φ + 1

φ4 = 3φ + 2

φ5 = 5φ + 3

φ6 = 8φ + 5

φ7 = 13φ + 8

φ8 = 21φ + 13

...

I coefficienti a secondo membro sono i numeri di Fibonacci

2) Proprietà.

 

   

 

 

   

In definitiva

 

 3) Proprietà, frazioni continue.

 

 

 

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