Problemi e calcolo di un limite

I seguenti problemi sono utili approfondimenti per la Maturità Scientifica e per l'Analisi Matematica in genrale. In questa pagina il problema geometrico o trigonometrico conduce poi al calcolo di un limite.

Problema 1.- Sia ABC un triangolo equilatero di lato a, sul prolungamento di AB si prenda un punto P, sia poi K la proiezione di P su lalo AC. Posto PB = x calcolare il seguente limite 

\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot \overline{PK}-\overline{PC} \right )

Risoluzione

Nel triangolo BCP, applicando il teorema di Carnot, si ha:

\overline{CP}=\sqrt{\overline{BP}\, ^{2}+\overline{CB}\, ^{2}-2\overline{PB}\cdot \overline{CB}\cdot cos120^{\circ}}=\sqrt{x^{2}+a^{2}-2ax\left ( -\frac{1}{2} \right )}=\sqrt{x^{2}+a^{2}+ax}

Nel triangolo rettangolo KPA, rettangolo in K, applicando il teorema sui triangoli rettangoli si ha:

\overline{PK}=\overline{AP}sen\left ( 60^{\circ} \right )=(a+x)\frac{\sqrt{3}}{2}

essendo 

\overline{AP}=a+x

Pertanto il limite da calcolare è il seguente 

\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [ \frac{2\sqrt{3}}{3}\left ( a+x \right )\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{x^{2}+a^{2}+ax} \right ]=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left ( a+x-\sqrt{x^{2}+a^{2}+ax} \right )

e vale 

\frac{a}{2}

Il limite dato si può calcolare razionalizzando il numeratore e poi mettendo in evidenza x al denominatore.

Problema 2.- Data una semicerconferenza di diametro AC e centro O, tracciare la semiretta uscente da A, perpendicolare ad AC e giacente rispetto ad AC dalla stessa parte della circonferenza. Detto M un punt generico su tale semiretta, indicare con x la distanza di M da A. Da M staccare l'ulteriore tangente in B alla semicirconferenza. Detta K l'intersezione della semicirconferenza con il segmento OM, determinare l'area del quadrilatero ACBK in funzione di x. Calcolare il valore di y per x tendente a + infinito.

1° Quesito Sessione Ordinaria 1990

Risoluzione

Per il teorema delle tangenti ad una circonferenza si ha che la retta OM è bisettrice dell'angolo AOB (fig. 1). Pertanto si ha: 

A\hat{O}M=B\hat{O}M,\, \, B\hat{O}C=\pi -2\alpha


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2) Vedi area di un triangolo qualsiasi
3) Abbiamo applicato le relazioni tra triangoli rettangoli al triangolo AMO

Problema N.3.- Dato un trapezio ABCD rettangolo in A, di lato obliquo CB, sia AB = CB = 10a, DA = 8a  e area 56a^2. Tracciamo la parallela alla diagonale AC e sia M il punto d'intersezione con il lato CB ed N il punto d'intersezione con il lato AB. Posto MB = x calcolare il seguente limite 

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\overline{MN}-\overline{MB}}{\overline{MH}}

ove H è la proiezione del punto M su AB.

Risoluzione

La base minore del trapezio si può calcolare con la formula inversa dell'area e vale 4a. Di conseguenza la diagonale AC si può calcolare con il teorema di Pitagora e vale 

\overline{AC}=\sqrt{\overline{DA}^{2}+\overline{DC}^{2}}=\sqrt{16a^{2}+64a^{2}}=5a

I triangoli ABC e NBM sono simili per il corollario del teorema di Talete essendo MN parallela ad AC, dunque si ha la seguente proporzione:

CB:BM=AC:MN

ossia

\overline{MN}=\frac{x\cdot 4a\sqrt{5}}{10a}=\frac{2}{5}x\sqrt{5}

mentre MH si può calcolare ragionando nei triangoli ACB e NMB e si ha:

\overline{MH}=\frac{\overline{CH}\cdot \overline{NB}}{\overline{AB}}=\frac{4x}{5}

Pertanto il limite da calcolare vale:  

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{2\cdot x\sqrt{5}}{5}-x}{\frac{4x}{5}}=\frac{2\sqrt{2}-5}{4}

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