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Problema 1.-
Dato un rettangolo di perimetro assegnato p determinare le misure delle sue dimensioni per le quali risulta massima la sua area.
Risoluzione
Indichiamo con x > 0 la misura della base del rettangolo. Ne consegue che l’altezza vale p/2 – x.
Pertanto l’area è data dalla seguente formula:
\[A=x\left ( \frac{p}{2}-x \right )=-x^{2}+\frac{p}{2}x\]
e indicato l’area A con y si ottiene l’equazione della parabola \[y=-x^{2}+\frac{p}{2}x\]
avente come ascissa del suo vertice \[x_{v}=\frac{p}{4}\].
Possiamo concludere che il rettangolo di perimetro assegnato è e di area massima è il quadrato di lato L = p/4.
Il valore \[x_{v}=\frac{p}{4}\] ci indica la misura della base per la quale l’area è massima in quanto la parabola \[y=-x^{2}+\frac{p}{2}x\]assume valore massimo per \[x_{v}=\frac{p}{4}\].
A tal proposito occorre ricordare che la parabola in questione rivolge l’apertura nella direzione negativa dell’asse y e pertanto il suo punto più alto è proprio il vertice, il che ci autorizza a concludere che l’ascissa del vertice è quel particolare valore per il quale la parabola assume valore più grande.
Problema 2.-
Dato un triangolo rettangolo di perimetro assegnato p e ipotenusa 10 m determinare le misure dei suoi cateti per le quali risulta massima la sua area.
Problema 3.- La funzione $\displaystyle y=0,008x^{2}+20x-40$ rappresenta un guadagno. Trovare per quale valori di x non si è in perdita e per quale valore di x si ottiene il massimo guadagno. Determinare inoltre il massimo guadagno.
Risoluzione ragionata
Per determinare i valori di x per i quali non si è in perdita bisogna determinare i valori di x per i quali la parabola è situata non al di sotto dell’asse x, ovvero i punti x per i quali y è non negativa.
Calcolo del guadagno massimo. La funzione che rappresenta il guadagno è una parabola con la concavità rivolta nella direzione negativa dell’asse y ( a = -0,008 < 0) e dunque il valore massimo si ottiene
per x uguale all’ascissa del vertice della parabola e il massimo guadagno si ottiene in corrispondenza dell’ordinata del vertice, pertanto bisogna calcolare le coordinate del vertice della parabola y = ax^2+bx+c. Si ottiene x = 1250, e il guadagno massimo è y= 12460.
Per risolvere il problema con l’analisi matematica vedere l’Esempio 6.1 qui