Somma per differenza (prodotto tra due particolari binomi )
\[\left ( A+B \right )\left ( A-B \right )=A^{2}-B^{2}\]
Esempio 1.- Calcolare i seguenti prodotti \[\left ( 3x+2y \right )\left ( 3x-2y \right ),\, \left ( 4x-5y \right )\left ( 4x+5y \right )\]
Calcolo
\[\left ( 3x+2y \right )\left ( 3x-2y \right )=\left ( 3x \right )^{2}-\left ( 2y \right )^{2}=9x^{2}-4y^{2}\]
\[\left ( 4x-5y \right )\left ( 4x+5y \right )=16x^{2}-25y^{2}\]
Quadrato del binomio (prodotto di un binomio per se stesso)
\[\left ( A\pm B \right )^{2}=A^{2}\pm 2AB+B^{2}\]
Esempio 1.- Calcolare i seguenti quadratidi un binomio \[\left ( 3x+4y \right )^{2},\left ( 5x-6y \right )^{2},\left ( x^{2}+y \right )^{2},\left ( \frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y \right )^{2}\]
Calcolo
\[\left ( 3x+4y \right )^{2}=\left ( 3x \right )^{2}+2\left ( 3x \right )\left ( 4y \right )+\left ( 4y \right )^{2}=9x^{2}+24xy+16y^{2}\]
\[\left ( 5x-4y \right )^{2}=\left ( 5x \right )^{2}-2\left ( 5x \right )\left ( 4y \right )+\left ( 4y \right )^{2}=25x^{2}-40xy+16y^{2}\]
\[\left ( \frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y \right )^{2}=\left ( \frac{1}{2}x \right )^{2}-2\left ( \frac{1}{2}x \right )\left ( \frac{1}{3}y \right )+\left ( \frac{1}{3}y \right )^{2}=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{3}xy+\frac{1}{9}y^{2}\]
Cubo del Binomio
\[\left ( A+ B \right )^{3}=A^{3}+ 3A^{2}B+3AB^{2}+B^{3}\]
\[\left ( A-B \right )^{3}=A^{3}- 3A^{2}B+3AB^{2}-B^{3}\]
Esempio 1.- Calcolare i seguenti cubi di un binomio \[\left ( -x+2y \right )^{3},\left ( 3x-y \right )^{3},\left ( x^{2}+3y \right )^{3},\left ( \frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y \right )^{3}\]
Calcolo
\[\left ( -x+2y \right )^{3}=\left ( -x \right )^{3}+3\left ( -x \right )^{2}\left ( 2y \right )+3\left ( -x \right )\left ( 2y \right )^{2}+\left ( 2y \right )^{3}=-x^{3}+3\left ( +x \right )^{2}\left ( 2y \right )+3\left ( -x \right )\left ( 4y^{2} \right )+8y^{3}=-x^{3}+6x^{2}y-12xy^{2}+8y^{3}\]
\[\left ( x^{2}+3y \right )^{3}=\left ( x^{2} \right )^{3}+3\left ( x^{2} \right )^{2}\left ( 3y \right )+3\left ( x^{2} \right )\left ( 3y \right )^{2}+\left ( 3y \right )^{3}=x^{6}+3x^{4}\left ( 3y \right )+3x^{2}\left ( 9y^{2} \right )+27y^{3}=x^{6}+9x^{4}y+27x^{2}y^{2}+27y^{3}\]
Quadrato del trinomio (prodotto di un trinomio per se stesso)
\[\left ( A+B+C \right )^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}+2AB+2AC+2BC\]
Esempio 1.- Calcolare i seguenti quadrati di un trinomio \[\left ( 3x+2y+5 \right )^{2},\left ( -x+4y-3z \right )^{2},\left ( \frac{1}{2}+2y+3x \right )^{2},\left ( \frac{2}{3}ab^{2}-ac^{2}+\frac{3}{2}b^{3} \right )^{2},\]
Calcolo
\[\left ( -x+4y-3z \right )^{2}=\left ( -x \right )^{2}+\left ( 4y \right )^{2}+\left ( -3z \right )^{2}+2\left ( -x \right )\left ( 4y \right )+2\left ( -x \right )\left ( -3z \right )+2\left ( 4y \right )\left ( -3z \right )=x^{2}+16y^{2}+9z^{2}-8xy+6xz-24xz\]
Potenza ennesima di un binomio
\[\left ( a+b \right )^{n}=…\]
Tale potenza ennesima si può calcolare in vari modi. Un modo è quello di ricordare che il suo sviluppo è un polinomio omogeneo di grado n i cui coefficienti si possono determinare con il Triangolo di Tartaglia (o di Pascal).
\[\left ( a+^{}b \right )^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\]
\[\left ( a+b \right )^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}\]
…
\[\left ( a+b \right )^{7}=a^{7}+7a^{6}b+…+b^{7}\]
Esempio 1.- Calcolare le seguenti potenze \[\left ( 2x+3 \right )^{4}=…,\left ( -x+2 \right )^{4}=…,\left ( 2a-1 \right )^{5}=…\]
\[\left ( \frac{1}{2}a-3 \right )^{6}=…,\left ( -2b+1 \right )^{5}=…,\left ( a-2 \right )^{7}=…\]