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Rapporti e proporzioni

Siano A, B, C, D quattro numeri nell’ordine scritto, si dice che formano una proporzione se il rapporto dei primi due è uguale al rapporto tra i secondi due: \[A:B=C:D\]

Nella proporzione \[A:B=C:D\]
i termini A e C si dicono antecedenti, B e D conseguenti, B e C si dicono medi e A e D estremi, il termine D si dice quarto proporzionale.

Se B = C o A = D la proporzione si dice continua.

Esempio 1.- I quattro numeri 5, 10, 6, 12 formano una proporzione perché \[5:10=\frac{1}{2}, \, \, \, 6:12=\frac{1}{2}\]
Dunque  si scrive \[5:10=6:12\]

Esempio 2.1.- Proprietà fondamentale di una proporzione. Data la proporzione \[A:B=C:D\] si ha che \[B\cdot C=A\cdot D\]
ossia: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Nella proporzione 5 : 10 = 6 : 12. si ha: 10 x 6 = 60 e  12 x 5 = 60.

Esempio 2.1.- Calcolare il termine incognito della seguente proporzione \[8:6=2:x\]. Applicando la proprietà fondamentale si ha:\[8\cdot x=2\cdot 6\Rightarrow x=\frac{6\cdot 2}{8}=\frac{3}{2}\]

Esempio 2.2.- Calcolare il termine incognito della seguente proporzione \[\frac{2}{3}:x=\frac{1}{5}:\frac{6}{7}\].
Applicando la proprietà fondamentale si ha: \[x=\frac{\frac{2}{3}\cdot\frac{6}{7}}{\frac{1}{5}}\Rightarrow x=\frac{4}{7}\cdot 5=\frac{20}{7}\]

Esempio 2.3.- Calcolare il termine incognito della seguente proporzione \[x:\frac{1}{9}=\frac{1}{4}:x\]

Risoluzione

Si tratta di una proporzione continua, e si ha \[x^{2}=\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{4}\rightarrow x=\sqrt{\frac{1}{36}}=\frac{1}{6}\]

Esempio 3. Proprietà del permutare 

$\displaystyle A:B=C:D\Rightarrow A:C=B:D$ permutare i medi

$\displaystyle A:B=C:D\Rightarrow D:B=C:A$ permutare gli estremi

Esempio 4. Proprietà dell’invertire

$\displaystyle A:B=C:D\Rightarrow B:A=D:C$

Esempio 5.1.- Proprietà del comporre $\displaystyle A:B=C:D\rightarrow \left ( A+B \right ):B=\left ( C+D \right ):D$ 

Data la proporzione \[(8-x):x=10:30\] determinare il numero x. Applicando la proprietà del comporre si ha:\[\left ( 8-x+x \right ):x=\left (10+30 \right ):30\rightarrow 8:x=40:30\rightarrow x=\frac{30\cdot 8}{40}=6\]

Esempio 5. 2.- Problema di geometria con la proprietà del comporre? Vedi il mio video su Youtube

Esempio 5.3.- Un altro problema? Vedi il mio video

Esempio 6.- Proprietà dello scomporre. $\displaystyle A:B=C:D\rightarrow \left ( A-B \right ):B=\left ( C-D \right ):D$

Esempio 7.- Proprietà del comporre gli antecedenti e i conseguenti. $\displaystyle A:B=C:D\rightarrow \left ( A+C \right ):\left ( B+D \right )=A:B$

Esempio 8.- Proprietà dello scomporre gli antecedenti e i conseguenti. $\displaystyle A:B=C:D\rightarrow \left ( A-C \right ):\left ( B-D \right )=A:B$

Esempio 9.1.- I problemi del tre semplice o del tre composto sono problemi di proporzionalità.
Vedi il seguente video sul mio canale Youtube

Esempio 10.1.- Problemi di percentuale. Un negoziante vende una partita di caffè ricavando 860 euro, con un guadagno del 20%. Quanto guadagna complessivamente?

Risoluzione

Si tratta di capire che 20% significa 20/100 e dunque è un rapporto. In base al fatto che si vuole il 20% di 860 euro, indicato con x la quantità che si vuol calcolare, ossia che corrisponde al 20% di 860, si può considerare la seguente proporzione:\[\frac{20}{100}=\frac{x}{860}\] ossia \[20:100=x:860\Rightarrow x=\frac{20\cdot 860}{100}=172\] Pertanto il guadagno complessivo è 172 euro.

Esempio 10.2.- Un Editore ricava dalla vendita di un libro 12000 euro. Sapendo che l’autore ha avuto una percentuale di 800 euro, qual è il tasso percentuale che l’Editore dà all’Autore?

Esempio 10.3.- Un negoziante, avendo comprato della merce da un grossista, ottiene dal grossista il tasso percentuale del 7% di riduzione sul prezzo, per cui ha risparmiato 300 euro. Qual era l’importo della merce?

Esempio 11.1.- Catena di rapporti. \[A:B=C:D=E:F\]

In una catena di rapporti uguali la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come un qualsiasi antecedente sta al suo conseguente

\[A:B=C:D=E:F\rightarrow (A+C+E):(B+D+F)=A:B\]

\[A:B=C:D=E:F\rightarrow (A+C+E):(B+D+F)=C:D\]

\[A:B=C:D=E:F\rightarrow (A+C+E):(B+D+F)=E:F\]

Determinare i numeri x, y, z, t sapendo che la loro somma è 60 e che formano la seguente catena di rapporti \[x:2=y:3=z:4=t:6\]

Risoluzione

Applicando la proprietà della catena di rapporti si ha: \[x:2=y:3=z:4=t:6\rightarrow \left ( x+y+z+t \right ):\left ( 2+3+4+6 \right )=x:2\]

da cui \[\left ( x+y+z+t \right ) :\left ( 15\right )=x:2\rightarrow 60:15=x:2\rightarrow x=8\]

Analogamente si calcolano y, z, t:

\[\left ( x+y+z+t \right ) :\left ( 15\right )=y:3\rightarrow 60:15=y:3\rightarrow y=12\]

\[\left ( x+y+z+t \right ) :\left ( 15\right )=z:4\rightarrow 60:15=z:4\rightarrow z=16\]

\[\left ( x+y+z+t \right ) :\left ( 15\right )=t:6\rightarrow 60:15=t:6\rightarrow t=24\]

Esempio 11.2.- Problema di ripartizione composta. Vedi il mio video sul canale Youtube

Esempio 11.3.- Ripartire il numero 504 in parti direttamente proporzionali ai numeri 2, 3, e 4 e direttamente proporzionali ai numeri 5, 6 e 7.

Esempio 11.4.-Ripartire il numero 2410 in parti inversamente proporzionali ai numeri 20, 30, e 40 e inversamente proporzionali ai numeri 50, 60 e 70.

Esempio 11.5.-Ripartire il numero 6180 in parti direttamente proporzionali ai numeri 2, 3, e 4 e inversamente proporzionali ai numeri 5, 6 e 7.

Esempio 12.1.- Società per azioni.-  Quattro persone Antonio, Ivana, Rosetta e Luigi, vengono a sapere che Giovanni, commerciante,  vuole acquistare ciliegie ma non sa come procurarsele e che è disposto a pagarle anche 30 euro al kg per un totale di 100 kg. Antonio invece conosce Michele che è un produttore di ciliegie e che le vende a 10 euro al kg. Antonio fiuta l’affare, ovvero il poter guadagnare 20 euro al kg per 100 kg, cioè 2000 euro, ma non ha i soldi per investire e comprare da Michele i 100 kg di ciliegie da rivendere poi al commerciante. Allora Antonio chiama Ivana, Rosetta e Luigi e decidono di mettersi insieme nell’affare mettendo ognuno i propri risparmi: Antonio mette 250 euro, Ivana 500, Rosetta 150 euro e Luigi 100 euro. Immaginando che ogni quota sia di 50 euro, quanto è il guadagno, dopo aver venduto i 100 kg di ciliegie a Giovanni, per i quattro amici?