Il simbolo $\displaystyle \exists$ si legge “Esiste almeno” “Esistono almeno” e si chiama quantificatore esistenziale.
Esempio 1.1.- Le scritture $\displaystyle \forall \, x,\, \, \, \forall \, \, x,y$ si leggono rispettivamente “Per ogni x”. “Per ogni x e y”.
Esempio 1.2.- Le scritture $\displaystyle \exists\, \, x, \exists\, \, x,y$ si leggono rispettivamente “Esiste almeno un x”. “Esistono almeno un x e un y”.
Esempio 1.3.- Le scritture $\displaystyle \exists \, x\in A,\, \, \, \forall \, \, x,y \in A$ si leggono rispettivamente “Esiste almeno un x appartenente ad A”. “Per ogni x e y appartenenti ad A”.
Esempio 1.4.- Le scritture $\displaystyle \exists \, x\in A\, :,\, \, \, \forall \, \, x,y \in A\mid$ si leggono rispettivamente “Esiste almeno un x appartenente ad A tale che”. “Per ogni x e y appartenenti ad A tale che”. Ricordiamo che i simboli $\displaystyle :,\, \, \, \mid$ si leggono “Tale che”.
Proposizioni con quantificatori.
“Per ogni x appartenente ad A p é una proposizione vera” si può scrivere simbolicamente così $\displaystyle \forall x\in A, p$
Si ha:
$\displaystyle \forall x\in A, p\, \, \, \Leftrightarrow\, \, \, \left [ \left \{ x:x\in A,p \right \}=A \right ]$
da cui
$\displaystyle \left [ \left \{ x:x\in A,p \right \}\neq A \right ] \, \, non\, \, equivalente\, \, a\, \, \forall x\in A, p$