Esercizio 1.- Determinare l’insieme di convergenza della serie
\[ \sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{2}e^{-nx}}{1+n}\]
e studiare la convergenza totale.
Esercizio 2.- Classificare i punti critici della funzione
\[ f(x,y)=e^{-x^{2}+2y-y^{2}}\]
e determinare minimo e massimo assoluto di f nel triangolo $T=\left\{ (x,y)\in R^{2}:0\leq x\leq 1\, \, \, 0\leq \, y\leq x\right\}$.
Esercizio 3.- Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale
\[ y’+\frac{y}{2xln\, x}=\frac{ln\sqrt{x}}{y}\]
Esercizio 4.- Calcolare l’area della porzione di superficie di equazioni
\[ \left\{\begin{matrix}x &=e^{u}cosv \\y & =e^{u}senv \\z &=e^{u}v \\\end{matrix}\right.\]
dove $0\leq u\leq 1,\, 0\leq v\leq 1$
Esercizio 5.- Studiare la forma differenziale
\[ \omega =\left ( e^{\frac{x}{y}}+cosx \right )dx+e^{\frac{x}{y}}\left ( 1-\frac{x}{y} \right )dy\]
e calcolare, se possibile, la primitiva che si annulla nel punto (0,1).