Punto di una parabola.- Data la parabola dì equazione $y=ax^{2}+bx+c$ e un punto $P(x_{0},y_{0})$, il punto P appartiene alla parabola se e solo se:
\[ y_{0}=ax_{0}^{2}+bx_{0}+c\]
Esempio 1.- Verificare se i punti A(2, 6), B(1,-2) e C(-3,-4) appartengono alla parabola $y=x^{2}-2x+3$
Risoluzione
Il punto A appartiene alla parabola perché
$6=(3)^{2}-2(3)+3$ cioè 6 = 6
Il punto B non appartiene alla parabola perché
$-2\neq(1)^{2}-2(1)+3$ cioè $-2\neq 2$
Il punto C… continua tu, dai divertiti…
Esempio 1.1- Verificare se i punti A(-2, 4), B(-1,-2) e C(-13,0) appartengono alla parabola $x=3y^{2}-y-15$.
Punto esterno ad una parabola.- Un punto $P(x_{0},y_{0})$ è esterno alla parabola d’equazione $y=ax^{2}+bx+c$ se
$y_{0}>ax_{0}^{2}+bx_{0}+c$ e a < 0
oppure
$y_{0}<ax_{0}^{2}+bx_{0}+c$ e a > 0
Punto interno ad una parabola.-Un punto $P(x_{0},y_{0})$ è interno alla parabola d’equazione $y=ax^{2}+bx+c$ se
$y_{0}>ax_{0}^{2}+bx_{0}+c$ e a > 0
oppure
$y_{0}<ax_{0}^{2}+bx_{0}+c$ e a < 0
Nella figura sottostante i punti in rosso sono esterni alla parabola, quelli di colore verde sono interni alla parabola.
Esempio 2.1- Verificare se i punti A(2, 4), B(0,0) e C(-2, 4), D(0,8) sono interni o esterni alla parabola $y=x^{2}-2x+1$
Esempio 2.2- Verificare se i punti A(-2, 1), B(-1, +8) e C(0, 7), D(4,-8) sono interni o esterni alla parabola $y=-2x^{2}-3x+4$
Risoluzione
Il punto A è interno alla parabola perché a = -2 < 0 e
$1<-2(-2)^{2}-3(-2)+4$ cioè 1< 2
Il punto B è esterno alla parabola perché a = -2 < 0 e
$8>-2(-1)^{2}-3(-1)+4$ cioè 8 > 5
Il punto C è esterno alla parabola perché a = -2 < 0 e
$7>-2(0)^{2}-3(0)+4$ cioè 7 > 4
Il punto D è…
Analoghe condizioni si possono considerare per stabilire se un punto P è interno, esterno o su di una circonferenza, ellisse e iperbole.
Punto di una circonferenza.- Data la circonferenza dì equazione $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$ e un punto $P(x_{0},y_{0})$, il punto P appartiene alla circonferenza data se e solo se
\[ x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+ax_{0}+by_{0}+c=0\]
Punto di un’ellisse
Punto di un’iperbole