Crea sito

Quadriche ed esempi

Si dice quadrica (Q) l’insieme dei punti dello spazio rappresentati, in un riferimento R cartesiano omogeneo dello spazio, da un’equazione di secondo grado omogenea del tipo:\[a_{11}x_{1}^{2}+a_{22}x_{2}^{2}+a_{33}x_{3}^{2}+a_{44}x_{4}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+2a_{13}x_{1}x_{3}+2a_{14}x_{1}x_{4}+2a_{23}x_{2}x_{3}+2a_{24}x_{2}x_{4}+2a_{34}x_{3}x_{4}=0\] nelle incognite \[x_{1},\, x_{2},\, x_{3},\, x_{4}\]

Si dice matrice associata alla quadrica Q la matrice simmetrica seguente: \[A_{Q}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} &a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{2} &a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} &a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} &a_{44} \end{bmatrix}\] con\[a_{ij}=a_{ji}\left ( i\neq j\, \, i,j=1,2,3,4 \right )\] cioè \[a_{12}=a_{21},\, \, a_{13}=a_{31},\, \, a_{14}=a_{41},…,a_{34}=a_{43}\]
Il determinante  della matrice AQ dice determinante della quadrica di equazione (1). Se il determinante della matrice AQ è uguale a zero la quadrica si dice degenere o riducibile, se è diverso da zero si dice non degenere.

Esempio 1.- Data la quadrica:\[2x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}-x_{2}x_{3}+x_{1}x_{4}+4x_{2}x_{4}+3x_{3}x_{4}-3x_{4}^{2}=0\] stabilire se è degenere o non degenere.

Osservato che il coefficiente di x1x2 è 1, ossia che \[2a_{12}=2a_{21}\, \, ossia\, \, \, a_{12}=\frac{1}{2}\] si ha che la matrice associata alla quadrica è:\[A_{Q}=\begin{bmatrix} 2 & \frac{1}{2} &1 &\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} &-1 &-\frac{1}{2} & 2\\ 1 & -\frac{1}{2} &0 & \frac{3}{2}\\ \frac{1}{2} & 2 &\frac{3}{2} & -3 \end{bmatrix}\] Inoltre, il determinante della matrice AQ è zero e quindi la quadrica è degenere. Notiamo che dividendo per \[\left ( x_{4} \right )^{2}\neq 0\] e posto \[\frac{x_{1}}{x_{4}}=x,\, \frac{x_{2}}{x_{4}}=y,\, \frac{x_{3}}{x_{4}}=z\] la quadrica data si può scrivere in coordinate cartesiane non omogenee nel seguente modo:\[2x^{2}-y^{2}+xy+2xz-yz+x+4y+3z-3=0\]

Esempio 2.- Data la quadrica in coordinate cartesiane: \[4x^{2}+y^{2}+z^{2}+4xy+4xz+2yz-4x-2y-2z+1=0\] stabilire se è degenere o non degenere.

La matrice associata alla quadrica è: \[\begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 &-2 \\ 2 &1 & 1 &-1 \\ 2 & 1 & 1 & -1\\ -2 &-1 &-1 & 1 \end{bmatrix}\] e il suo determinante è zero. Pertanto la quadrica è degenere e si riduce alla seguente:

( 2x + y + z – 1)2 = 0

Notiamo che la quadrica si può scrivere in coordinate omogenee con le sostituzioni:\[\frac{x_{1}}{x_{4}}=x,\, \, \frac{x_{2}}{x_{4}}=y,\, \, \frac{x_{3}}{x_{4}}=z\] nel seguente modo \[4x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+4x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}-4x_{1}x_{4}-2x_{2}x_{4}-2x_{3}x_{4}=0\]