Quasi cento anni di Maturità

Quasi cento anni di Maturità! 
Voglio proporre in questa pagina alcune prove d’esame proposte tra il 1928 e il 1969.

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  • Mentre per vedere quelle assegnate dal 2001 (Quesiti: clicca qui) fino al 2021 ( Problemi: clicca qui.)

Problemi di geometria o di trigonometria con eventuale discussione (Tartinville, Cartesio, ecc.)

Maturità 1928.- Sopra un arco AB, quarta parte di una circonferenza di centro O e raggio r, determinare un punto P tale che, detta C la proiezione ortogonale di P sul raggio OB, la somma del segmento AP e del doppio del segmento PC sia uguale ad un segmento di lunghezza L.

Risoluzione ragionata

(in preparazione)

Maturità 1932.- Dato un angolo retto XOY, e dati due segmenti di misure a ed m, determinare nell’interno dell’angolo  un punto P tale che OP sia uguale al primo segmento ed in modo che la somma della terza parte della distanza di P da OX e della quarta parte della distanza di P da OY sia uguale al secondo segmento.

Risoluzione ragionata

Posto $\displaystyle P\hat{O}T=x$, x > 0, dalla figura e applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli si ricava PT = a sen x e PR = a cos x. Di conseguenza  per i teoremi sui triangoli rettangoli possiamo  ricavare l’equazione lineare goniometrica che risolve il problema: \[4a\cdot sen\, x+3a\cdot cos\, x=12\cdot m\]

Maturità 1937.- Le misure dei lati AC e CB di un triangolo ABC sono  3a e 2a, l’angolo ACB è di 60°: determinare sul lato AC un punto P e sul lato BC un punto Q, in modo che sia AP = BQ e la somma  dei quadrati costruiti sui segmenti AB, BQ, QP e PA equivalente al quadrato il cui lato ha per misura L. 

Risoluzione ragionata

Poniamo AP = PQ = x > 0, applichiamo il teorema di Carnot ai triangoli ABC e CPQ e calcoliamo $\displaystyle \overline{AB}^{2}$ e $\displaystyle \overline{AP}^{2}$ . Di conseguenza la relazione data dal testo dell’esercizio si può riscrivere come un’equazione di secondo grado nell’incognita x, con parametri a e L. Stabiliti le limitazioni dell’incognita e dei parametri si ottiene un sistema misto di secondo grado e che si può discutere con il metodo di Tartinville.

Maturità 1939.- In un semicerchio, il cui diametro AB è lungo 2r, condurre una corda AC in modo che, se AD è la corda che biseca l’angolo BAC, detto m un numero positivo, risulti $\displaystyle \overline{AC}+\overline{AD}=2m\cdot r$ .
Caso particolare per $m=\frac{1}{2}\left ( \sqrt{3}+1 \right )$

Risoluzione ragionata

(in preparazione)

Maturità 1947.- Dato il triangolo isoscele BAC, la cui base BC  è lunga 3a ed il cui angolo BAC ha il coseno uguale a 7/25, si indichino con B’ e C’ i due punti situati il primo sul lato AB ed il secondo sul prolungamento del lato AC (dalla parte di C), in modo che sia BB’ = CC’ = a. Determinare sulla base BC un punto P, in modo che sussista la seguente relazione: \[\overline{B’P}^{2}+\overline{C’P}^{2}=2k^{2}a^{2}\]

Maturità 1954.- E’ data una semicirconferenza il cui diametro AB è lungo 2r; nel semipiano che la contiene, sulla tangente in A, si consideri il punto M tale che AM abbia lunghezza 4r. Si determini sulla circonferenza un punto P, in modo che sussista la relazione seguente:

\[\overline{MP}=\overline{AP}+k\cdot \overline{BP}\]

essendo k un numero reale assegnato. Suggerimento: si consiglia di assumere per l’incognita l’ampiezza dell’angolo ABP.

Maturità 1955.- Siano dati l’angolo MON di 150° ed il punto A della semiretta opposta al lato OM, tale che sia OA = L. Trovare  un punto P, interno all’angolo, in modo che, indicata con Q la sua proiezione ortogonale sulla retta MA, si abbia

\[\overline{OA}+2\cdot \overline{OQ}=2\sqrt{3}\cdot \overline{PQ},\, \, \, \, \, \, \, \overline{OP}^{2}+\overline{AP}^{2}=k\overline{OA}^{2}\]

Maturità 1959.- Il triangolo ABC ha i lati AB ed AC di lunghezza 5 e 4, l’angolo BAC di 60°; detta AS la bisettrice di tale angolo, si calcoli la lunghezza del lato BC e delle parti in cui questo è diviso dal punto S, il coseno dell’angolo ABC e la lunghezza di AS. Si trovi sul segmento AS un punto P, infine,  in modo che la somma  dei quadrati delle sue distanze dai vertici del triangolo sia uguale all’area di un quadrato il cui lato è lungo k.

Maturità 1963.- Segare una sfera di raggio r con un piano, in modo che la somma delle aree della maggiore delle due calotte così ottenute e della superficie laterale del cono, tangente alla sfera ed avente per base il cerchio sezione, stia nel rapporto k con l’area della sezione. Successivamente si studi la variazione del suddetto rapporto k in funzione della distanza del piano secante dal centro  della sfera e, disegnato il grafico relativo, si trovino i risultati ottenuti con la discussione algebrica.

Maturità 1964.- Internamente al diametro AB di una sfera il cui raggio sia lungo r, si determinino i punti M ed N, in modo che sia $\displaystyle \overline{NB}=r-2\cdot \overline{AM}$ ed in modo che sia k il rapporto fra l’area della zona sferica, compresa fra due piani perpendicolari al diametro AB nei punti M ed N, e la somma delle aree dei cerchi di intersezione di detti piani con la sfera. Dire, per quale posizione di M è massima la somma dei volumi dei due coni aventi per vertice il centro della sfera e per base tali cerchi.

Problemi di geometria analitica o studio di funzione con eventuale discussione.

Maturità 1931.- L’angolo XOY è di 60°; sul lato OX sono dati due punti A e B in modo che OB sia il doppio di OA: determinare sul lato OY un punto M, in modo che il rapporto AM/BM sia uguale ad un rapporto assegnato k. Successivamente  determinare su OY i punti M1 e M2 per i quali risulti minimo o massimo tale rapporto e dimostrare che i quattro punti A, B, M1, M2 appartengono ad una stessa circonferenza.

Risoluzione ragionata

(in preparazione)

Maturità 1935.- In coordinate cartesiane ortogonali rappresentare la funzione $\displaystyle y=x^{3}-x^{2}$ dopo aver determinato i punti d’intersezione con l’asse x, le tangenti a tali punti di massimo e di minimo, qualche altro punto a scelta. Determinare inoltre i punti di intersezione della curva con la retta di equazione y = mx e discutere i risultati. E’ poi in facoltà del candidato, dato il numero reale a ed il punto P della curva di ascissa a, di determinare le ascisse dei punti della curva che hanno la stessa ordinata di P.

Risoluzione ragionata

Per determinare i punti d’intersezione con l’asse x occorre mettere a sistema la curva data con l’equazione dell’asse x, cioè con y = 0. Risolto il sistema si vede che i punti d’intersezione sono O(0,0) e A(1,0). Le tangenti in tali punti sono:

  • l’asse x, cioè la retta y = 0, per il punto O;
  • la retta y = x – 1 per il punto A(1,0). Infatti, la derivata prima della funzione è y’ = 3x^2 – 2x e  m = y'(1) = 1. Dunque dall’equazione della tangente ad una curva si ha: y – 0 = m (x – 1) cioè y = 1(x-1) ossia y = x – 1.

Maturità 1949.- Siano date, in un sistema di assi cartesiani ortogonali, le parabole di equazioni $\displaystyle y=x^{2}-2x$ e $\displaystyle y=4x-x^{2}$ considerate le rette di equazioni x = h ed y = k (parallele agli assi cartesiani), determinare h e k in modo che risultino massimi i segmenti MN e PQ, di tali rette, appartenenti alla regione comune alle superfici delle due parabole ed aventi estremi N e Q sulla prima parabola e M e P sulla seconda. Determinare inoltre l’area della superficie comune alle due parabole.

Maturità 1957.- Discutere la realtà ed il segno delle radici dell’equazione seguente:

$1)\, \, \, \, \, \, \, \, \left ( m+1 \right )x^{2}-2\left ( m-1 \right )x+\left ( m-2 \right )=0$

Ricavando poi dalla (1) il parametro m in funzione di x, si studi tale funzione determinando gli eventuali valori massimi e minimi. Successivamente posto

$2)\, \, \, \, \, \, \, \, y=\left ( m+1 \right )x^{2}-2\left ( m-1 \right )x+\left ( m-2 \right )=0$

si risolva il sistema che si ottiene attribuendo ad m i valori m = 0 e m = -2; si mostri che la soluzione del sistema soddisfa la relazione (2), qualunque sia il valore di m; si verifichi che le due parabole si toccano in un punto e che una qualunque retta, passante per tale punto, stacca sulle parabole corde uguali.

Risoluzione ragionata

Per discutere l’equazione possiamo applicare la regola di Cartesio.

Maturità 1967.- In un piano, riferito ad un sistema cartesiano Oxy, si considerino le parabole di equazione:

\[1)\, \, \, \, \, \, \, y=mx^{2}+x+3-4m\]

a) Si determinino le coordinate del vertice della generica parabola, di equazione (1), in funzione di m; successivamente, eliminando m fra le relazioni trovate, si studi la curva di equazione y = f(x) che così si ottiene (luogo dei vertici delle parabole) e si trovino, in particolare, i punti A e B in cui la funzione f(x) ha rispettivametne un massimo relativo ed un minimo.

b) Si verifichi che tutte le parabole considerate passano per A e B.

c) Tra le parabole di equazione (1) si determinino quella avente per vertice il punto A e quella il cui vertice è B; si provi che tali parabole sono simmetriche rispetto al punto medio C del segmento AB e si calcoli l’area della regione finita del piano limitato dalle due parabole.

Risoluzione ragionata

(in preparazione)

Maturità 1969.- Le lunghezze dei lati BC, AC ed AB del triangolo ABC sono rispettivamente 2L, s – x, s + x: si esprimano l’area del triangolo e la lunghezza del raggio della circonferenza circoscritta in funzione di L e di x; successivamente si studi la funzione $\displaystyle R(x)^{2}$.

Risoluzione ragionata

Dai dati del problema si ricava che il perimetro del triangolo ABC è 2p = 2(L+s) e l’area, calcolata con la formula di Erone,  $\displaystyle A=\sqrt{\left ( L+s \right )\left ( L+x \right )\left ( s-L \right )\left ( L-x \right )}$. Il raggio R invece, calcolato con formula $\displaystyle R=\frac{a\cdot b\cdot c}{4A}$, vale:

\[R=\frac{L\left ( s-x \right )\left ( s+x \right )}{2\sqrt{\left ( s^{2}-L^{2} \right )\left ( L^{2}-x^{2} \right )}}\]

e quindi elevando al quadrato…

Altri problemi con solidi

Maturità 1931.- Dato il quadrato ABCD, il cui lato sia lungo a, si trovi su AB un punto M in modo che sia k il rapporto dei due solidi ottenuti facendo ruotare di un giro completo il trapezio MBCD una volta intorno alla retta AB, un’altra volta intorno alla retta CD.

Maturità 1947.-

Maturità 1950.-

Maturità 1964.-