Raggi della circonferenza inscritta e circoscritta ad un triangolo

Raggi della circonferenza inscritta e circoscritta ad un triangolo

a) Il raggio R della circonferenza circoscritta al triangolo ( fig. 1) di lati a, b, c si può trovare con una delle seguenti formule

R=\frac{a\cdot b\cdot c}{4S}, \, \, \, \, \, \, S\, area\, del\, triangolo

R=\frac{a}{2\cdot sen\, \alpha },\, \, \, R=\frac{b}{2\cdot sen\, \beta },\, \, R=\frac{c}{2\cdot sen\, \gamma }

b) Il raggio r della circonferenza inscritta al triangolo ( fig. 2)  di lati a, b, c, con area S, e semiperimetro p, si può trovare con una delle seguenti formule:

r=\frac{S}{p}=\frac{2\cdot S}{a+b+c}, \, \, \, \, \, \, \, \, \, con\, \, \, p =\frac{a+b+c}{2}

 

r=\sqrt{\frac{\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )}{p}}

 

\begin{matrix} r &=\left ( p-a\right )tan\frac{\alpha }{2} \\ &\\ r &=\left ( p-b\right )tan\frac{\beta }{2} \\ &\\ r &=\left ( p-c\right )tan\frac{\gamma }{2} \end{matrix}

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